Ezt hogyan igazoljam helyesen?

[link]

337. oldal 1.tétel

Ahhoz, hogy helyesen igazold ezt, használhatjuk a differenciálhatóság definícióját. Ha a függvény differenciálható az x0 helyen, akkor a deriváltja létezik az x0-ban. Tehát a derivált definíciója szerint:

f'(x0) = lim x->x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0)

Ezt a határértéket kell vizsgálnunk. Ha ez a határérték létezik, akkor a függvény folytonos az x0-ban. Tehát a feladat az, hogy bizonyítsuk, hogy ez a határérték létezik. Ehhez általában a differenciálhatóság definícióját használjuk, ami azt mondja, hogy:

f'(x0) = lim x->x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0) = A

Azt kell tehát igazolnunk, hogy ez a határérték valós számra konvergál, vagyis létezik. Ehhez többféle módszert is alkalmazhatunk, például a differenciálszámítás alapvető szabályait, vagy a határértékek tulajdonságait.

1) Szorzol is és osztasz is ugyanazzal a számmal. (x - x0)

2) Tényezőnként veszed a határértéket.

3) A 2. tényező határértéke 0. Az első tényező határértéke az adott pontbeli derivált.