Hogy oldjam meg ezt a komplikált matek feladatot?

Tanulj és akkor meg tudod majd oldani.

Nem nehéz.

A két pont az egységnégyzet egy oldalára esik. A valószínűség 1/4.

(Az első pont akárhova eshet, a második vele egy oldalra.)

Legyen az egységnényzet bal alsó sarka az origóban! Elég azt az esetet végignézned (szimmatriaokokból), hogy mekkora az esély az (a,0) koordinátájú pontokra, ahol "a" megy nullától 1/2-ig. Egy adott "a" esetén:

eleve 1/4 az azonos oldali másik pont esetén, ahogy #4 mondja. Az y tengelyen lévő oldal esetén 1/4*Gyök(1-a^2). A távolabbi függőleges oldal esetén pedig 1/4*Gyök(1-(1-a)^2)

Innen már integrálszámítás: mindegyik integrál a=0-tól a=1/2-ig, és az összegük osztva 1/2-del

Az ilyen feladatoknál sok esetben akkor járunk jobban, hogyha szétszedjük esetekre, és nem rögtön akarjuk az egészet megoldani.

Tegyük be a négyzetet egy koordináta-rendszerbe, ahol a négyzet csúcsai a (0;0), (0;1), (1;1) és (1;0) pontok.

Nyilvánvaló okokból a keresett pontpárok két szomszédos oldalon kell, hogy elhelyezkedjenek, ezért koncentráljunk első körben az x- és y-tengelyekre eső oldalakra. Azt nézzük meg, hogy egy adott ponthoz a jó pontok milyen hosszú szakaszon helyezkednek el;

Ha az x-tengelyről a (0;0) pontot választanánk, akkor triviális, hogy a szakasz 1 hosszú, ha pedig az (1;0) pontot, akkor a szakasz hossza 0. Most nézzünk egy közbülső pontot az x-tengelyről, például az (1/4 ; 0) pontot. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a kiválasztott pont, sugara 1 egység, az ez lesz:

(x - 1/4)^2 + y^2 = 1, illetve nekünk most az lenne jó, hogyha a bal oldalra 1-nél kisebb értéket kapnánk, vagyis:

(x - 1/4)^2 + y^2 < 1.

Mivel az y-tengely pontjainak első koordinátája mindenképp 0, ezért ezt kapjuk:

(0 - 1/4)^2 + y^2 < 1, vagyis

y^2 < 15/16, gyökvonás után (y csak pozitív lehet):

y < gyök(15)/4, vagyis az egyenlőtlenség megoldása:

0 =< y < gyök(15)/4, az így kapott pontok pedig egy gyök(15)/4 hosszú szakaszt adnak eredményül.

Ha egyesével ki tudnánk számolni ezeket az eseteket, akkor ezek összege lenne a kedvező eset. Mivel sajnos végtelen sokan vannak, ezért ez nem fog menni, de azért van másik megoldási módunk is; ugyanezt csináljuk végig az összes x-tengelyre eső ponttal; legyen a pontunk (p;0), ahol 0<=p<=1. Ekkor ugyanúgy felírjuk a kör egyenletét (egyenlőtlenségét):

(x-p)^2 + y^2 < 1, a keresett pontok első koordinátája még mindig 0, ezért

(0-p)^2 + y^2 < 1, rendezés után:

y = gyök[p^2-1]

Ez a képlet adja meg p függvényében a megfelelő hosszokat. Ahogy írtam, ezeket kellene összeadni egyesével, és ez lenne a kedvező eset, de ezt nem tudjuk a klasszikus értelemben megtenni, helyette azt tudjuk csinálni, hogy ennek a függvénynek kiszámoljuk a függvény alatti területét, integrálással, vagy most speciális esetben észrevehetjük, hogy a függvénygörbe nem más, mint egy negyed kör, így annak a területe pi/4 nagyságú. Tehát ha először az x-tengelyről, majd az y-tengelyről választanánk pontokat, akkor a kedvező esete pi/4 lenne annak, hogy ezek 1-nél kisebb távolságra vannak egymástól.

Az első oldalt 4-féleképpen, a másodikat 2-féleképpen tudjuk kiválasztani, tehát ezt a procedúrát igazából 8-szor kellene végigjátszanunk ugyanazzal az eredménnyel, ezért a kedvező esetek száma 8*pi/4 = 2pi.

Összes eset: a négyzet kerülete 4 egység, tehát gyakorlatilag egy 4 hosszú szakaszról tudunk pontokat válogatni, ezért az első pont kiválasztására 4 lehetőségünk van, a másodikra is, így 4*4=16-ot kapunk az összes esetre.

Valószínűség: 2pi/16 = pi/8.

A: A két pont távolsága kisebb, mint 1.

B1: A két pont egy élre esik. P(B1)=1/4 P(A|B1)=1

B2: A pontok szemközti élekre esnek. P(B2)=1/4 P(A|B2)=0

B3: A pontok szomszédos élekre esnek. P(B3)=1/2 P(A|B3)=Pi/4

Teljes valószínűség tétele:

P(A)=1/4+0+Pi/8=0,6427