Mennyi a háromszög területe?

A háromszög kerülete: K = a + b + c. Fél-kerülete: s = K/2. A háromszög területe: T = a*m/2, ahol m a háromszög a oldalához tartozó magassága.

[link]

A két kisebb derékszögű háromszög hasonló egymáshoz is és a nagy háromszöghöz is (mivel szögeik páronként megegyeznek), a hasonlóság aránya 5:12, ennek megfelelően legyen a legkisebb háromszög átfogóra eső oldala 5x, ekkor a közepes nagyságú háromszög ennek megfeleltethető oldala (ami a nagy háromszög átfogóhoz tartozó magassága) 12x hosszúságú lesz. Innen egy Pitagorasz-tétellel megkapjuk, hogy a kicsi háromszög átfogója 13x hosszúságú kell, hogy legyen.

A kis háromszögnek kétféleképpen tudjuk kiszámolni a területét;

-egyrészt (5x)*(12x)/2

-másrészt (5x+12x+13x)/2 * 5

Ennek a kettőnek meg kell egyeznie, tehát:

(5x)*(12x)/2 = (5x+12x+13x)/2 * 5, ennek az egyenletnek egyetlen pozitív megoldása x=5/2. Ennek ismeretében már nem nehéz válaszolni az eredeti kérdésre.