Egy mértani sorozat első 5 tagjának az összege 155, e számok reciprokának az összege 0,3875. Határozza meg ennek az öt tagnak a szorzatát!?

Mivel érettségi feladatnak írtad, ezért valószínűleg nem ezt a megoldást keresed, de legalább valami;

Írjuk fel a két összeget:

a1 + a1*q + a1*q^2 + a1*q^3 + a1*q^4 = 155

1/a1 + 1/(a1*q) + 1/(a1*q^2) + 1/(a1*q^3) + 1/(a1*q^4) = 0,3875

Szorozzuk össze a két egyenletet, ekkor ezt kapjuk:

A bal oldal:

[link]

(q^4 + q^3 + q^2 + q + 1)^2 / q^4 = 60,0625

Szorozzunk a nevezővel:

(q^4 + q^3 + q^2 + q + 1)^2 = 60,0625*q^4

Most gyököt tudunk vonni, viszont vigyázzunk, hogy a gyökvonás miatt a jobb oldalon kétféle eredmény lehet, egy pluszos és egy mínuszos. Én most a pluszossal számolom, a mínuszossal megcsinálhatod gyakorlásképp;

q^4 + q^3 + q^2 + q + 1 = 7,75*q^2, vonjunk ki 7,75*q^2-et:

q^4 + q^3 - 6,75*q^2 + q + 1 = 0

Ez egy úgynevezett szimmetrikus negyedfokú egyenlet. Azért szimmetrikus, mert az együtthatói (1, 1, -6,75, 1, 1) szimmetrikusan állnak. Ennek a fajta egyenletnek van egy trükkös megoldása; q nem lehet 0, ezért oszthatunk q^2-tel:

q^2 + q - 6,75 + 1/q + 1/q^2 = 0, kicsit rendezzük át a tagokat:

q^2 + 1/q^2 - 6,75 + q + 1/q = 0

Valószínűleg még nem látszik, de ez valójában egy másodfokúra visszavezethető egyenlet; legyen

q + 1/q = z, majd emeljünk nézetre:

q^2 + 2 + 1/q^2 = z^2, majd 2-t kivonva:

q^2 + 1/q^2 = z^2 - 2

Ez azt jelenti, hogy az eredeti egyenletben le tudjuk a tagokat praktikusan cserélni, így ezt kapjuk:

z^2 - 2 - 6,75 + z = 0, vagyis

z^2 + z - 8,75 = 0, ennek megoldásai: z=2,5 és z=-3,5

Mivel z = q + 1/q volt, ezért egyrészt 2,5 = q + 1/q, amire q=2 és q=0,5, másrészt -3,5 = q + 1/q, aminek szintén van két nem túl szép valós megoldása. Ezek ismeretében meghatározhatóak a sorozat tagjai, és a keresett szorzat is.

Ha a gyökvonás után kapott negatívos taggal csinálod végig, akkor az egyenletnek 4 darab komplex megoldása lesz.

Valószínűleg van az eredeti feladatnak ennél elegánsabb megoldása is, én most erre jutottam.

Érdemes a középső elemmel, a_3-mal kifejezni mindent.

Legyen a_3=a az egyszerűség kedvéért.

Ekkor

a/(q^2) + a/q + a + aq + a(q^2) = 155

és

1/(aq^2 )+ 1/(aq) + 1/a + (1/a)q + (1/a)q^2 = 0,3875

A kettőt elosztva q kiesik, a-ra +-20 adódik.

A szorzatot megint a-val fejezzük ki.

+-(20)^3 lesz a végeredmény.