Hány hétjegyű páros szám készíthető a 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3 számjegyekből?

Alakítsunk ki csoportokat aszerint, hogy milyen kezdődéssel és végződéssel rendelkezhetnek a számok. Összesen 3*2=6-féle csoportot tudunk megszámolni.

-Az 1 _ _ _ _ _ 0 alakú számokban a vonalakra az 1, 1, 2, 2, 3 számjegyek meghetenk tetszőleges sorrendben. Az azonos számjegyeket nem különböztetjük meg, ezért ismétléses permutációval számolhatunk: 5!/(2!*2!) = 30 ilyen szám van.

-Az 1 _ _ _ _ _ 2 alakúaknál a 0, 1, 1, 2, 3 számjegyek maradnak, ezek sorrendjeinek száma: 5!/2! = 60, tehát ennyi szám van ebben a csoportban.

-A 2 _ _ _ _ _ 0 -nál az 1, 1, 1, 2, 3 számjegyeket kell ismétlésesen permutálnunk: 5!/3! = 20, vagyis 20 ilyen szám van.

-A 2 _ _ _ _ _ 2 esetén a 0, 1, 1, 1, 3 számjegyek maradnak ki, ezek elhelyezésére 5!/3! = 20 lehetőségünk van, így itt ennyi hétjegyű szám keletkeztethető.

-A 3 _ _ _ _ _ 0 alaknál az 1, 1, 1, 2, 2 marad ki, ezek permutációinak száma: 5!/(3!*2!) = 10.

-A 3 _ _ _ _ _ 2 -re a 0, 1, 1, 1, 2 számjegyeket kell elhelyeznünk: 5!/3! = 20.

A csoportokban kapott számokat összeadjuk: 30 + 60 + 20 + 20 + 10 + 20 = 160, tehát 160 db, a feladanak megfelelő szám létezik.

________________________

Másik megoldás; ha 0-ra végződik, nincs különösebb probléma: 6!/(3!*2!)=60.

Ha 2-re végződik, akkor már van probléma, mivel az elejére nem mehet a 0. Hogyha csak azokat az eseteket akarjuk megszámolni, ahol a 0 nem az elején van, azt úgy is megtehetjük, hogy megnézzük az

összes lehetséges permutációt: 6!/3! = 120, majd a

0-val kezdődő permutációkat: 5!/3! = 20, végül

ezeket kivonva kapjuk, hogy hány esetben nem 0-val kezdődnek a számok: 120-20=100, tehát 100 olyan hétjegyű szám van, ami 2-re végződik.

60 + 100 = 160, ami pont annyi, mint az előbb.

________________________

Harmadik megoldás: úgy fogunk számolni, hogy a páratlanokat számoljuk le, és azt kivonjuk az összes esetből;

Összes eset: előbb vegyük ki a 0-t és csak a maradékot permutáljuk: 6!/(3!*2!)=60. Ebben a 60 darab hetjegyű számban a számjegyek közé, illetve a számok végére tehetjük a 0-t, ezáltal minden esetben 6 különböző hétjegyű számot kapunk, vagyis összesen 60*6 = 360-féle hétjegyű szám képezhető.

Páratlan esetek: ha az 1-es van a végén, akkor 5!/(2!*2!)=30-féle hatjegyű van, ha 3-as, akkor 5!/(3!*2!)=10, összesen tehát 40-féle hatjegyű páratlan számot számoltunk meg. Ezekben a 0 számjegyet 5-féle helyre tehetjük (a végükre nem, mert akkor páros lenne a hétjegyű szám), ezzel 40*5=200 darab hétjegyű páratlan számot megszámolva.

360 - 200 = 160, tehát 160-féle hétjegyű páros szám készíthető.

1. Ha az egyes helyiértéken 0 van, akkor a maradék számokat kell sorrendbe állítani. Azt gondolom tudod.

2. Ha az utolsó helyen 2 van akkor sorrendbe állítjuk a maradák számokat és levonjuk azok számát, ahol az első helyen 0 és az utolsó helyen 2 áll.

Az eredmény 1. és 2. összege.