A Thálesz-tétel igaz 3 dimenzióban?

> „Ha esetleg valaki megerősítene vagy megcáfolna, hogy az utolsó bekezdésem előtt jól gondolkoztam-e vagy sem, azt megköszönném!” (@20:57)

Szerintem igen. A 20:47-es válasz, az utolsó bekezdéstől eltekintve korrekt.

Ha tényleg jól értem, annyiban össze lehet foglalni, hogy a Thalész-tételt tudjuk alkalmazni bármelyik síkban bármelyik körre, így egy gömb bármelyik főkörének a síkjában is a főkörre. (Mondjuk innen kicsit nagy ugrás, hogy akkor a gömb térszögeire is…)

OFF: Örülök, hogy valaki végre rákattintott egy linkre, amit adtam, és figyelembe vette, amikor véleményt formált! Volt olyan kérdés, hogy az első válaszban linkeltem a részletesen kidolgozott konstrukciót, és a többi válaszadó megállapodott abban, hogy márpedig ilyen konstrukció nem létezik. ON

> „Mert a síkbeli Thálesz-tételnél a szög határozatlanná válik, ha elérjük az átmérő végpontját. És előtte mindig 90 fok. Szóval a síkbeli eset más.

De a térben egy síkidomot az éle felöl nézve mindig 0 térszög alatt látjuk. Határozottan.” (@20:44)

Ugye a síkbeli esetben a határozatlanságon azt érted, hogy (a fix átmérő végpontjait A-val és B-vel, a változtatható kerületi pontot C-vel jelölve), hogy az ACB szöget nem tudjuk meghatározni, ha C = A. Ez ugye azért van, mert a szög úgy van definiálva, hogy egy körív osztva a hozzá tartozó sugárral, de most akármilyen kis sugarat is választanánk C körül, a CA szögszár nem tudja elmetszeni. (Hacsak nem 0-nak választjuk, de akkor meg 0-val kéne osztani a körívet.)

A térbeli esetben egy gömbön vagyunk, és a gömbfelszín egy tartományának a területét osztjuk a sugár négyzetével. De ugye itt is az lesz, hogy ha a főkörre teszed a pontot, akkor az át fog menni annak a gömbnek a közepén, amivel a térszöget definiálod, és innentől kezdve nem tudod, hogy a (szögmérésre használt gömb-) felszín melyik pontját rendeljük a kérdéses ponthoz.

De ugye azt mondod, hogy az mindegy is, mert null-mértékű a főkör többi pontja által meghatározott fél-főkör pontjaihoz képest, amik még mindig egy 0 területet jelölnek ki?…

Hm… Oké, lehet, hogy így már jó az érvelésed, de én mindig félek kicsit az ilyenektől.

#10

"ezen a laposföldön a naplemente helyén igencsak meleg lesz naplementekor."

Ez igaz. Ennek következtében nem a kívánt eredményt adja az analógia. Nem bizonyítja, amit elgondoltam.

#11

"(Mondjuk innen kicsit nagy ugrás, hogy akkor a gömb térszögeire is…)"

Hát igen. Nem véletlenül mondtam, hogy nem tudom levezetni. :D

Nyilván ennek a matematikájához nem értek. Szóval megpróbáltam egy gyakorlati példán elképzelni: ha a gömb felületén állva néznénk a kúp alapját alkotó főkört, akkor (ha jó a levezetésem) bármely irányba ugyanakkora, 90° kiterjedésűnek látnánk. Ez alapján pedig én úgy gondolnám, hogy ugyanakkora térszög alatt (ugyanakkora látszólagos méretűnek) is látnánk. De nyilván ez nem egy matematikai levezetés, simán lehet, hogy hibás a logika.

Egy apróság elöljáróban: a Thalész-tételt ha kerületi szögekre mondjuk ki, akkor az átmérő végpontjaiban is érvényes lesz.

Jelen esetben ne a kúp gömbbel való metszetét nézzük, inkább a merőleges síkmetszetét! Az ugyanis egy ellipszis lesz, aminek egyik tengelye állandó, a másik pedig ennél nem kisebb. Emiatt az ellipszis területe r²π-től növekszik. Most kellene egy elliptikus kúp által kimetszett gömbdarab felszíne, amire egyelőre az intuícióm azt mondja, hogy változik, tehát a 3D Thalész-tétel nem igaz.

Mondjuk eleve a kúp minden tengelyiranyú metszete derékszög, szóval már itt meg lehet fogni.