Hány megoldása van?

Ha k<=0, akkor szemlátomást 0 darab megoldás van.

Ha k pozitív, akkor lehet 1, 2 vagy 3 megoldás. Ha a k*x^2 függvény "túl lapos", akkor a pozitív számok halmazán a két függvény görbéje nem fogja egymást metszeni, míg a negatívon pontosan egyszer. Ha túl "nyújtott", akkor a pozitív számok halmazán a másodfokú függvény görbéje valahol áthalad az exponenciális függvény görbéjén, viszont tudjuk azt, hogy az e^x függvény nagyságrenje nagyobb, mint a másodfokúé, tehát valahol biztosan "vissza fogja előzni" a másodfokút, ekkor pontosan 3 megoldása lesz.

Két megoldás abban az esetben lehet, hogyha a két függvény görbéje érinti egymást, ehhez pedig az kell, hogy differenciálhányadosuk valahol megegyezzen, és azon a helyen a függvényérték is azonos legyen. Ennek megfelelően deriváljuk a két függvényt (x szerint):

(e^x)' = e^x

(k*x^2)' = k*2*x

Ezzel pedig kapunk egy egyenletrendszert:

e^x = k*x^2

e^x = k*2*x

A k=0 esetet már kitárgyaltuk. Ha x=0, akkor 1=0 adódik, ami nem igaz. Más esetben pedig nyugodtan oszthatjuk a két egyenletet egymással:

1 = x/2, vagyis 2 = x. Ezt helyettesítsük vissza:

e^2 = k*2*2, erre e^2/4 = k adódik.

Tehát ha k értéke e^2/4, akkor az eredeti egyenletnek pontosan két megoldása lesz. Ha k>e^2/4, akkor 3 megoldást találunk, ha pedig 0<k<e^2/4, akkor pontosan 1 megoldása lesz.