Adja meg cos 15° pontos értékét! Hogy kell ezt levezetve, "számológép nélkül" megoldani?

A trigonometrikus azonosságokat kell használni.

sin 30 és cos 30 fok ismert.

pl sin 30 = 2*sin15 * cos 15

Ezt négyzetre emeljük:

sin2 (30) = 4* sin2(15)*cos(2)15

(sin2(15) az sin négyzet 15 fok)

A sin2(15) = 1 - cos2(15)

Beírjuk, legyen cos2(15)= a

sin2 (30) = 4* [1-a]*a

sin2(30)-at be kell írni, a-ra megoldani a másodfokú egyenletet.

cos(15)= +-gyök(a)

Itt még tudni kell, hogy cos(15) egy pozitív szám és megkaptuk a pontos értékét.

cos(45°-30°)= ...

Addicios tétel.

Ha esetleg a fenti válaszokat nem érted, nézzünk egy geometriai bizonyítást;

Tudjuk, hogy cos(30°)=gyök(3)/2, ezt a tényt pedig a 30°-os derékszögű háromszögből ismerjük, melynek oldalai 1;gyök(3);2 hosszúságúak, ahol az 1 hosszú befogó a 30°-os szöggel szemközti oldal. Ez a befogó legyen a BC oldal, ahol a C derékszögű csúcsot jelöli.

Ebben a háromszögben húzzuk be a 30°-os szög szögfelezőjét, ekkor (nem túl meglepő módon) két darab 15°-os szöget kapunk. A szögfelező az 1 hosszú oldalt metszi valahol, ez a metszéspont legyen T, ekkor egy BT és egy TC szakaszt kapunk. Legyen a BT szakasz x hosszú, ekkor a TC szakasz értelemszerűen 1-x hosszúságú lesz.

Jelen helyzetben fel tudjuk írni a szögfelezőtételt, ami így néz ki:

(1-x)/x = gyök(3)/2, rendezzük:

2-2x = x*gyök(3), hozzáadunk 2x-et:

2 = (gyök(3)+2)*x, végül osztunk (gyök(3)+2)-vel:

2/(gyök(3)+2) = x. Ezt a törtet érdemes gyökteleníteni úgy, hogy bővítjük a törtet (2-gyök(3))-mal:

2/(gyök(3)+2) * (2-gyök(3))/(2-gyök(3)) = ... = (4-2*gyök(3))/(4-3) = 4-2*gyök(3)

Tehát x = 4-2*gyök(3), ilyen hosszú a BT szakasz, a TC így 1-(4-2*gyök(3)) = 2*gyök(3)-3 hosszúságú.

Ezután számoljuk ki az AT szögfelező hosszát Pitagorasz tételével:

(AT)^2 = (gyök(3))^2 + (2*gyök(3)-3)^2, innen

AT = gyök[24-12*gyök(3)]

Innen pedig az ACT derékszögű háromszögben fel tudjuk írni a 15°-os szög koszinuszát:

cos(15°) = gyök(3)/gyök[24-12*gyök(3)], ez lesz a pontos érték.

Ellenőrzés WolframAlphával:

[link]