Attila és Bogi kockázik, felváltva dobnak, mindig két kockával. Attila kezd. Ha előbb dob hatos összeget, mint Bogi hetes összeget, akkor ő nyer, különben Bogi. Mennyi a két játékos nyerési esélye?

Attilának jó ötféle, Boginak 6-féle dobás.

1-5

2-4

3-3

4-2

5-1

vö.

1-6

2-5

3-4

4-3

2-5

1-6

A két játékos nyerési esélye egyébként 1. Mert valamelyik bizots nyer. Ha az a kérdés, hogy mennyi az egyes játékosok nyerési esélye, azt majd más kiszámolja. A lényeg, hogy Boginak kicsivel több az esélye, de nem tudom, hogy ezen mennyit árnyal, hogy Attila kezd és elsőre 6-os lehet az eredménye.

Kezdetben Attila dob, 5/36 eséllyel azonnal nyer, 31/36 eséllyel nem nyer, és akkor Bogi dob.

Ekkor Bogi dob, 1/6 eséllyel nyer, 5/6 esély nem nyer, ekkor pedig vissza jutottunk a kezdeti állapotba

Legyen a kezdeti állapot 1-es, legyen "Attila már dobott, de nem nyert" állapot 2-es, az Attila nyert állapot a 3-as, a Bogi nyert állapot a 4-es.

Legyen p13 az valószínűsége annak, hogy Attila nyer (1-esből a 3-as állapotba jutunk valamilyen úton)

p13 = 5/36 + (31/36)*(5/6)*p13

p13-155/216*p13=5/36

(61/216)*p13=5/36

p13=(5/36)/(61/216)

p13=30/61

Tehát Attila 30/61 valószínűséggel nyer.

Bogi esélye hasonló módon számolható

p14=(31/36)*(1/6)+(31/36)*(5/6)*p14

Erre pedig 31/61 jön ki, ami egybe is vág azzal, hogy Attila esélye 30/61 volt

Bogi akkor nyer, ha 7-et dob és Attila nem dob előtte 6-ot. Ez mindig az utolsó, döntő menetre vonatkozik, az előtte levő nem nyertes menetek nem befolyásolják a valószínűséget.

Annak a valószínűsége, hogy Attila 6-ot dob: az első kockával való dobás 5/6 (bármi, ami nem hatos) és a második dobás kötött: 1/6. Azaz 5/36.

Annak a valószínűsége, hogy Bogi 7-et dob: az első kockával való dobás 6/6 (bármi), a második dobás kötött: 1/6. Azaz 6/36.

Attila és Bogi dobásai független események. Annak a valószínűsége hogy Bogi az adott menetben nyer: (5/36)*(6/36)=31/216.

Annak a valószínűsége, hogy Attila nyer: 5/36=30/216. Annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik nyer 61/216.

A feltételes valószínűség: ha tudjuk hogy valamelyik nyert, vagyis döntő menetben vagyunk, akkor Bogi mekkora valószínűséggel nyer? (31/216)/(61/216)=31/61.

A feltételes valószínűség: ha tudjuk hogy valamelyik nyert, akkor Attila mekkora valószínűséggel nyer: (30/216)/(61/216)=30/61.