(1−2n)/(2+2n), ezt a sorozatot, hogy tudom megvizsgálni korlátozottság szempontjából?

Kezdésnek érdemes átalakítani a törtet:

-1 + 3/(2n+2)

Ezt már könnyebb vizsgálni.

Ránézésre :) Mármint ha az a kérdés, hogy ha n tart a végtelenbe, akkor a tört értéke hová tart.

A végtelen mellett az 1 meg a 2 elhanyagolható, tehát -2n/2n = -n/n, azaz -1-hez tart.

#3, a kérdező korlátosságot kérdezett, szerintem a határértékszámítást még nem tanulta. (A korlátossághoz egyébként sem kell a legtöbb esetben.)

Kérdező: az ilyen különféle törteket "okosan" át lehet alakítani, hogy az osztást el tudjuk végezni. Mivel most a nevezőben (2+2n) van, ezért úgy kellene variálni a számlálóban, hogy ez, vagy ennek egész számú többszöröse megjelenjen. Például ha kivonunk 3-at, akkor -2-2n lesz, amiből -(2+2n)-t tudunk csinálni, amit már el tudunk osztani. Persze ha 3-at levonunk, akkor változik a kifejezés, így hozzá is kell adnunk, hogy változatlan maradjon:

(1−2n)/(2+2n) = (1-2n-3+3) / (2+2n) = (-2-2n+3) / (2+2n)

Tanultuk azt, hogy ha közös nevezőn vannak a törtek, akkor összeadás/kivonás esetén csak a számlálókat kell összeadnunk/kivonnunk. Például 2/7 + 3/7 = 5/7. Ez az átalakítás visszafelé is működik, vagyis az 5/7-ből bármikor csinálhatunk 2/7 + 3/7 -et. Ezt fogjuk itt is alkalmazni:

= (-2-2n)/(2+2n) + 3/(2+2n)

Az első tört értéke így (-1) lesz:

= -1 + 3/(2+2n)

És ezzel az alakkal már tudunk mit kezdeni korlátosság szempontjából.

Először is látható, hogy egy szigorúan monoton csökkenő sorozatunk van, mivel a nevező egyre nagyobb lesz, a számláló nem változik, így hányadosuk egyre kisebb lesz, a (-1) ezt pedig nem nagyon befolyásolja. Ez a megállapítás természetesen algebrailag is levezethető; az a(n) sorozat szigorúan monoton csökken, hogyha tetszőleges nemnegatív k egészre a(k)>a(k+1) teljesül. Tehát ezt az egyenlőtlenséget írhatjuk fel:

-1 + 3/(2+2k) > -1 + 3/(2+2(k+1)), ezt az egyenlőtlenséget megoldod (figyelembevéve a levezetésnél azt a tényt, hogy a nevezők minden pozitív egész k-ra pozitívak), ekkor a végén azt kapod, hogy 1>0, ami igaz, tehát pozitív k-kra igaz lesz az állítás.

Ennek megfelelően a sorozat felső korlátjának mondható a sorozat első tagja: -1 + 3/(2+2*1) = -1 + 3/4 = -1/4, tehát ez lesz a sorozat maximuma, így egyben a legkisebb felső korlátja is (vagyis suprémuma).

Az alsó korláthoz a következőképpen juthatunk; a 3/valami esetén a "valami" egyre csak nő, és ahogy az 1/n sorozat is a 0-hoz "közelített", úgy ez a sorozat is ide fog feltehetően. Akkor azt kapjuk, hogy -1+0=-1, tehát úgy tűnik, hogy a sorozat alsó korlátjának jó lesz a (-1). Ha ez igaz, akkor tetszőleges n esetén a sorozat értékei e fölött lesznek (esetleg felveszi), vagyis a

-1 + 3/(2+2k) >= -1

egyenlőtlenséget az összes pozitív egész szám kielégíti. Kezdjük el megoldani az egyenlőtlenséget; hozzáadunk 1-et:

3/(2+2k) >= 0

A számláló pozitív, a nevező pozitív, pozitív számok hányadosa mindig pozitív, tehát innen látható, hogy az állítás igaz lesz. De megtehetjük azt is, hogy szorzunk a nevezővel (ami mindenképp pozitív):

3 >= 0, ami igaz, tehát az eredeti egyenlőtlenség is igaz minden pozitív k-ra. Tehát a sorozat alsó korlátjának mondható a (-1). Mivel a 3=0 nem igaz, ezért értéknek soha nem veszi a (-1)-et, tehát ez nem a sorozat minimuma lesz. A másik érdekes kérdés, hogy hogyan mondható meg, hogy ez az alsó korlát egyben a legnagyobb alsó korlát, vagyis az imfémum. Ehhez már kellhet a határértékszámítás, de ez a konkrét példa egyébként megoldható anélkül is; feltesszük, hogy ez a legnagyobb alsó korlát, ekkor ha ennél nagyobb számra néznénk, akkor az egyenlőtlenségnek nem lenne minden pozitív egész a megoldása. Nézzük a

-1 + 3/(2+2k) >= -1+t

paraméteres egyenlőtlenséget, ahol t egy paraméter, értéke pedig >0 (mivel azt vizsgáljuk, hogy a (-1)-nél nagyobb számok lehetnek-e korlátok). Ahogy az előbb, oldjuk meg k-ra az egyenlőtlenséget:

(3/t - 2)/2 >= k, vagy a 2-vel osztást elvégezve:

1,5/t - 1 >= k

Látható, hogy ha t helyére bármilyen pozitív számot írunk, az eredeti egyenlőtlenségnek csak véges sok megoldása lesz. Például ha t = 0,01, akkor:

149 >= k, tehát a sorozat első 149 tagjára lesz igaz, hogy -0,99-nál nagyobbak vagy egyenlők lesznek, az ezek utáni tagok mind kisebbek lesznek nála. És ez bármilyen pozitív t-te eljátszható, emiatt a (-1) valóban imfémuma lesz a sorozatnak.