Hogyan kell ezt kiszámolni?( Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás szempontjából (a tétel alapján, nem elegendő a sorozat néhány elemének kiszámolása) , és a korlátozottság szempontjából) an =3n+4 / 5n−1 )

Mik ezek a k-k?

Először megnézzük az első néhány tagot;

n=1-re a(1) = (3*1+4)/(5*1-1) = 7/4

n=2-re a(2) = (3*2+4)/(5*2-1) = 10/9

n=3-ra a(3) = (3*3+4)/(5*3-1) = 13/14

Ezek alapján azt sejtjük, hogy szigorúan monoton csökken, tehát teljesül, hogy a(n)>a(n+1), tehát

(3n+4)/(5n-1) > (3(n+1)+4)/(5*(n+1)-1)

Én most megspórolom a kiszámolást:

[link]

n>1/5, tehát tetszőleges n pozitív egészre igaz lesz, tehát valóban szigorúan monoton csökkenő.

A korlátossághoz két lehetőség van;

-keresünk egy olyan számot, aminél biztosan nagyobb a sorozat, ilyen például a 0. Azt kell megmutatnunk, hogy tetszőleges n-re

(3n+4)/(5n-1) > 0, ez nem túl bonyolult. Tehát találtunk egy alsó korlátot.

Mivel a függvény szigorúan monoton csökken, ezért felső korlátnak választható az első tag, de mivel az nem egész, lehet nagyobbat is választani, mondjuk a 2-t, tehát azt kell megmutatni, hogy tetszőleges n-re

(3n+4)/(5n-1) < 2.

Tehát a sorozat korlátos, mert találtunk egy alsó és egy felső korlátot.

Ha határértéket akarsz számolni a végtelenben, akkor az a bevett szokás, hogy egyszerűsítünk az ismeretlen legnagyobb hatványával, jelen esetben n-nel:

a(n) = (3 + 4/n)/(5 - 1/n), a 4/n és az 1/n a végtelenben 0-hoz tart, így marad 3/5, tehát a sorozat határértéke 3/5. Ez a szám, amihez egyre jobban közelítenek a sorozat tagjai, de azt sosem érik el.

Ja, értem már... A két k a két korlát.

Mint írtam, a felső korlát az első tag, vagyis a 7/4, az alsó korlát pedig a végtelenben vett határérték, ami a 3/5.

Azonban -és ezt is írtam- nem csak ezek a korlátok; bármilyen 3/5-nél kisebb szám jó alsó korlátnak, és bármilyen 7/4-nél nagyobb szám jó felső korlátnak. Viszont ezeknek a korlátoknak kitüntett nevük van, ugyanis a 7/4-nél kisebb számok biztosan nem lesznek jók felső korlátnak, ezért ezt a számot a legkisebb felső korlátnak, más néven szuprémumnak hívjuk. Ugyanez a helyzet a 3/5-del is; ő a legnagyobb alsó korlát, őt más szóval infémumnak nevezzük.

Na, akkor ha ezekkel tisztában vagy, akkor már azt is tudod, hogyan kell számolni.

Általánosságban elmondható, hogy ha egy sorozat korlátos, akkor a sorozat valamelyik tagja vagy infémum vagy szuprémum lesz (olyan is lehet, hogy mindkettő, ilyen például az 1,1,1,1,... sorozat), a másik korlát pedig vagy szintén valamelyik tag, vagy a végtelenben vett határérték.

Ha viszont a sorozat szigorúan monoton minden tagjára, akkor az első verzió érvényesül.