Hogyan tudnám kiszámolni, hogy egy kiterített papírpohár hány %-a egy körnek?

X legyen a kisebb körív sugara.

Akkor (radiánban mérve a szöget)

X*alfa = 59*Pi

és

(X+120)*alfa = 84*Pi

Ahol alfa a körcikk középponti szöge, és amúgy minket nem érdekel, mert nem az a kérdés. Emiatt a két egyenletet elosztjuk, hogy alfa kiessen, így:

(84*Pi)/(59*Pi) = (X+120)/X

Ezt rendezve kijön az X.

Bár ne tetted volna...

Bár nem írt teljesen hülyeséget az #1, azonban van benne hiba; amikor kiteríted a pohár palástját, akkor egy körgyűrűcikket kapsz, amelynek vastagsága NEM egyezik meg az összehajtogatott pohár magasságával. Amivel megegyezik, az az úgynevezett alkotó, ami az a (legrövidebb) szakasz, amely összeköti a két kör kerületi pontjait, magyarán a "lejtős rész". Tehát ahhoz, hogy az #1-ben felvázolt gondolatmenetet használni tudjuk, előbb ezt kell kiszámolnunk.

Ha a poharat függőlegesen félbevágjuk, akkor a vágás helyén egy húrtrapéz keletkezik, melynek alapjai 84 mm és 59 mm hosszúak, magassága 120 mm. Ebben a trapézban ha behúzzuk a két, a rövidebbik alap végeiből indított magasságvonalat, akkor azzal a trapézt egy téglalapra és két egybevágó derékszögű háromszögre vágjuk. A derékszögű háromszögek befogóit meg tudjuk adni; az egyik 120 mm, a másik (84-59)/2=12,5 mm hosszúságú. A derékszögű háromszög átfogója megegyezik a test alkotójával (a), így ezt egy egyszerű Pitagorasz-tétellel ki tudjuk számítani;

120^2 + 12,5^2 = a^2, erre a=~120,65 mm adódik.

Tekintve, hogy a kapott eredmény nem sokban különbözik a magasságtól (csupán 0,65 mm az eltérés), emiatt nagyságrendileg a magassággal számolt eredmény is jó lehet, viszont más esetre jobb ezt tudni.

Másik érdekes dolog; ha felrajzoljuk a pohár palástját alkotó körgyűrűcikket, valamint a középpontból behúzott sugarakat, akkor az ábrán két körcikk (egy kisebb és egy nagyobb) található;

-a kisebbik sugara r, körívének hossza 59*pi hosszú,

-a nagyobbik sugara r+120,65, körívének hossza 84*pi hosszú, értelemszerűen minden adatot mm-ben kell érteni.

A két körcikk hasonló egymáshoz, a hasonlóság arányát pedig a sugarak, valamint a körívek osztásából megkaphatjuk, tehát ezek a hányadosok meg kell, hogy egyezzenek. Ennek megfelelően:

(r+120,65)/r = (84*pi)/(59*pi), a jobb oldalon pi-vel szépen lehet egyszerűsíteni, és egy könnyen megoldható egyenletet kapunk. Természetesen az egyenlet úgy is felírható, hogy fordítva osztunk mindkét oldalon.

Az egyenlet megoldása r=284,734, amit akár 285-re is lehet kerekíteni, függően attól, hogy milyen pontos eredményt akarunk kapni.

Tehát a pohár palástját alkotó körgyűrűcikk egy 284,734+120,65 = 405,384 mm sugarú körből lett kivágva.

Ha a körgyűrűcikkhez tartozó középponti szögre is kíváncsiak vagyunk, akkor az is kiszámolható; ismert a következő összefüggés:

i = 2*r*pi*α/360°, ahol i a körcikk köríve, r a körcikk sugara, α a körcikk középponti szöge fokban mérve. Ebbe egyszerűen behelyettesítünk, én a kisebbik, vagyis a 284,734 mm sugarú körcikket veszem alapul (amit gyakorlatilag levágunk a nagy körcikkből, hogy a pohár palástjának körgyűrűcikkét kapjuk):

59*pi = 2*284,734*pi*α/360°, rendezés után 37,3° =~ α adódik.