Egy matek feladatot nem értek? Hogy kéne ezt megoldani? Mi a módszer hozzá?

a) Először nézzük meg, hogy általában hol helyezkedik el a 99 a páratlan számok sorában; a sorozat első tagja 1, a differencia 2, így a tagképletet használva:

99 = 1 + (n-1)*2, ennek megoldása 49 = n, tehát a 99-es szám a 49.-ként leírt.

Mivel a 49 nem egy túl nagy szám, ezért akár manuálisan is fel lehet írni, hogy megtudjuk. Egyébként pedig azt tudjuk megnézni, hogy az adott oszlopig bezárólag hány számot írtunk le:

1. oszlopig: 1

2. oszlopig: 1+2=3

3. osztlopig: 1+2+3=6

4. osztlopig: 1+2+3+4=10

Általánosságban pedig azt tudjuk, hogy az n-edik oszlopig 1+2+3+4+...+n, ami egy olyan összeg, amelyben a számok számtani sorozatot alkotnak, ennek megfelelően fel tudjuk írni az összeget az összegképlet segítségével: (1+n)*n/2, ennek kellene 49 "körül" lennie, tehát oldjuk meg az

(1+n)*n/2 = 49 egyenletet. Ennek pozitív megoldása n=~9,41. Ha n=9, akkor a 9. oszlopig összesen (1+9)*9/2=45 számot írunk le, ha n=10, akkor a 10. oszlopig összesen (1+10)*10/2=55 számot. Ezzel belátjuk, hogy a 9. oszlop még nem, de a 10. oszlop már tartalmazza a 99-es számot.

b) Ugyanazt csináljuk, mint az a)-ban, csak fordítva. A 2016. oszlopig összesen (1+2016)*2016/2 = 2033136 számot írunk, így a 2017. oszlop első száma a 2033137. páratlan szám lesz. Ebből pedig a tagképlettel tudunk számolni;

a(2033137) = 1 + (2033137-1)*2 = 4066273, tehát a 4066273 lesz a 2017. oszlop első száma.

c) Az N-edik oszlopig összesen 1+2+3+4+...+N számot írunk le, vagyis (1+N)*N/2 darab számot. Ezen számok összege szintén számolható összegképlettel. Ebben az esetben jobb, hogyha a (2*a1 + (n-1)*d)/2 * n képletet használjuk, itt a1=1, d=2, n=(1+N)*N/2, ennek megfelelően:

S(N) = (2*1 + (((1+N)*N/2) - 1)*2)/2 * ((1+N)*N/2), ezt kicsit át tudjuk alakítani algebrailag.

Most az (N-1)-edik oszlopig nézzük meg az összeget; összesen 1+2+3+4+...+(N-1) számot adunk össze, így az összeg (1+N-1)*(N-1)/2 = N*(N-1)/2, tehát ennyi számot írunk le. Eddig az oszlopig a számok összege:

S(N-1) = (2*1 + ((N*(N-1)/2)-1)*2)/2 * (N*(N-1)/2), ez is algebrailag átalakítható.

Nyilvánvaló okokból az utolsó oszlopban a számok összege megegyezik ennek a kettőnek a különbségével. Papíron levezetni egy pokol lesz, de meg lehet tenni. A WolframAlpha viszont rögtön megmutatja nekünk, hogy valóban n^3 lesz az eredmény:

[link]

A bizonyítást máshogyan is meg lehet csinálni, például teljes indukcióval, kérdés, hogy te ismered-e a teljes indukciós bizonyítást.