SOS kombinatorika!! Segítene ezt a feladatot levezetni? Azt sem tudom, hogy hogy kezdjek neki. Valami szita módszer esetleg?

Így van, a logikai szitát kell használnunk 3 halmazra:

|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Ezzel azt tudjuk megszámolni, hogy hány esetben fogja a betűsor tartalmazni a három szó valamelyikét (legalább az egyiket).

Nézzük, hogy jelen esetben ki kicsoda;

A:={a LOM-ot tartalmazó betűsorok}

B:={a HOZ-ot tartalmazó betűsorok}

C:={a ZAB-ot tartalmazó betűsorok}

A ∩ B={a LOM-ot és a HOZ-ot tartalmazó betűsorok}

A ∩ C={a LOM-ot és a ZAB-ot tartalmazó betűsorok}

B ∩ C={a HOZ-ot és a ZAB-ot tartalmazó betűsorok}

A ∩ B ∩ C={mindhármat tartalmazó betűsorok}

A függőleges vonalak a halmazok körül azok számosságát jelölik (vagyis hány betűsor van a halmazokban).

Nézzük egyesével;

A: a LOM szó betűit ragasszuk össze ebben a sorrendben, így a 26 helyett csak 24 dolgot kell permutálnunk, tehát az eredmény 24! lesz, tehát |A|=24!.

Nem nehéz rájönni, hogy a B és a C esetén is ugyanez a helyzet, tehát |B|=24!, |C|=24!.

A ∩ B: a LOM és a HOZ szavak fizikai okokból nem tudnak egyszerre megjelenni egyik betűsorban sem, így ennek számossága 0.

A ∩ C: a LOM és a ZAB szavak minden további nélkül lehetnek egyszerre a betűsorban. Ahogy az előbb, itt is ragasszuk össze ezeket a betűket ebben a sorrendben, így 22 dolgot kell permutálnunk, tehát |A ∩ B|=22!

B ∩ C: a HOZ és a ZAB szavak csak úgy tudnak egy időben megjelenni, hogyha a HOZAB betűsort tartalmazza az egész betűsor. Ezt az 5 betűt összeragasztva 22 dolgot kell permutálnunk, így |B ∩ C|=22!

A ∩ B ∩ C: mivel a LOM és a HOZ nem lehetnek egyszerre, ezért ennek a számossága is 0 lesz.

Tehát ezt kapjuk, ha a kapottakat behelyettesítjük a fenti képletbe:

|A U B U C| = 24! + 24! + 24! - 0 - 22! - 22! + 0, vagyis

|A U B U C| = 3*24! - 2*22!

Tehát ennyi esetben lesz legalább az egyik szó a betűsorban. A jó eseteket számát úgy kapjuk, hogy ezt kivonjuk az összes esetből;

Összes eset: 26!

Tehát a kedvező esetek száma: 26! - (3*24! - 2*22!), amit például egy Windows-os számológép ki tud számolni: 401.432.363.922.861.472.481.280.000.

Felvetődik a kérdés, hogy "csak oda" kíváncsi-e a feladat erre a szavakra, vagyis csak egy irányban érvényesek, vagy esetleg visszafelé is, tehát a MOL, ZOH, BAZ szavak is megjelenhetnek-e. Ha igen, akkor még egy kicsit tovább kell számolnunk;

A;B;C: elég csak 2-vel szorozunk: 2*24!.

A ∩ B: ez szerencsére nem változik.

A ∩ C: a LOM/MOL és ZAB/BAZ szavak egymáshoz képest 4-féleképpen állhatnak, tehát az előbb kiszámoltat 4-gyel kell szoroznunk: 4*22!

B ∩ C: itt is csak kétféle lehetőség van a felírásra: a HOZAB és a BAZOH, tehát itt is elég csak 2-vel szorozni: 2*22!

A ∩ B ∩ C: még mindig 0 a számossága.

Ebben az esetben tehát

|A U B U C| = 2*24! + 2*24! + 2*24! - 0 - 4*22! - 2*22! + 0, vagyis

|A U B U C| = 6*24! - 6*22!

Ezt kell kivonnunk az összes esetből:

26! - (6*24! - 6*22!) = 399.575.514.720.572.864.593.920.000 esetben nem lesznek sem így, sem úgy a fenti szavak.

Nem, mert lesz 26-6=20 betű + 2 szó = 22.

21 akkor lenne, hogyha 6 betűből csinálnánk 1 szót.