Pontszerű fényforrás és az ernyő távolsága 2m. Az ernyőn 2 cm sugarú kör alakú fébyfoltot akarunk létrehozni 20 cm-es gyújtótávolságú gyűjtőlencsével, amelynek átmérője 8cm. A forrástól milyen messze legyen a lencse, hogy a megvilágítás a legerősebb?

Hát ez elég undorító, semmi gyakorlati értelme nincs, csak több oldal favágás. Biztos hogy nem számolom végig bocsi.

Ha gyakorlati szempontból fontos, akkor használd azt a közelítést, hogy a fénypont a végtelenben van (a 2m helyett) és akkor triviálisan ki lehet számolni, hogy az ernyőre fókuszált állapothoz képest 5cm-t kell az ernyőtől távolítani a lencsét.

Mivel valójában nem a végtelenben van a fényforrás, hanem 2m-re, kicsit eltolódik a fókusz, úgyhogy az 5cm az egy felülbecslés. 4.7cm körülre tippelek :D

•

Legyen D=2m távolságra van az ernyő, t távolságra van a lencse a tárgytól, k távolságra a képtől. f=20cm a lencse fókusztávolsága.

Első körben nézzük meg, hogy mi történik, ha ráfókuszálunk az ernyőre. Ilyenkor fennáll, hogy:

1/f = 1/k + 1/t

tudjuk, hogy k+t=D, ezekből kiszámolható, hogy hová kell tenni a lencsét, hogy épp az ernyőre fókuszáljunk. (valami 22 cm körül jön ki)

Ezen kívül tudjuk, hogy ha épp 20cm-re tesszük a lencsét, és fókuszban van a tárgypont, akkor a lencse párhuzamosítja a nyalábokat és egy 8 cm átmérőjű kört világít ki.

Ha a lencsét kicsit elmozdítjuk az ernyő felé (az új tárgytávolság t'), akkor már nem lesznek párhuzamosak a nyalábok, hanem fókuszálódni fognak, az ernyő mögé.

Az új fókuszpozíciót nevezzük D'-nek. (Ez D mögött van, tehát D'>D)

Ilyenkor két egyenlet írható fel. Részint a leképezési törvény:

1/f = 1/t' + 1/(D'-t')

illetve az ernyőre vetülő szélső nyaláb szöge:

tan(alfa) = 4cm / (D'-t')

(Ez a lencse átmérőjéből és a képtávolságból jön)

Ugyanezt a szöget fel lehet írni, ha felrajzolod az ernyő mögött, a képzeletbeli fókuszpontig tartó háromszöget:

tan(alfa) = 1cm / (D'-D)

(ez az 1cm sugarú foltból és a fókuszpontig megmaradt távolságból jön ki)

Innentől fogva két egyenlet két ismeretlen:

1/f = 1/t' + 1/(D'-t')

1cm / (D'-D) = 4cm / (D'-t')

Ismeretlenek: t', D'

Ismert f=20cm, D=200cm

¶