Algebra kvaterniókhoz ért valaki?

Csak le kell csekkolni. :) Jelöljük azon kvaterniók halmazát, melyekre iqj=jqi, K-val.

- Additív struktúra viselkedése:

Legyenek q_1, q_2 K-beli elemek. Kérdés, hogy q_1+q_2 is K-beli-e?

Hát nézzük: i(q_1+q_2)j=iq_1j+iq_2j=jq_1i+jq_2i=j(q_1+q_2)i, tehát a struktúra zárt az összeadásra.

Az összeadás asszociativitása adódik abból, hogy a kvaterniók fölött az összeadás asszociatív.

Ivertálhatóság: Azt kell megnézni, hogy ha q K-beli, akkor -q K-beli-e.

i(-q)j=-iqj=jqi=j(-q)i, hisz a valósz számok (-1 itt) minden kvaternióval fölcserélhetők.

Egységelemesség: nyilván 0 az additív egységelem a kvaterniók között, és nyilván K-beli.

Multiplikatív struktúra viselkedése:

A kérdés, hogy a q_1, q_2 K-beliek, akkor q_1q_2 is K-beli-e?

Tudjuk, hogy iq_1j=jq_1i és jq_2i=iq_2j. Szorozzuk össze ezt a két egyenlőséget: iq_1jjq_2i=jq_1iiq_2j, azaz -iq_1q_2j=-jq_1q_2i, -1-gyel egyszerűsítve iq_1q_2j=jq_1q_2i. Tehát a struktúra zárt a szorzásra.

Az asszociativitás ismét következik abból, hogy a kvaterniók szorzása asszociatív.

Tehát K gyűrűt alkot.