Egy 3x3-as táblázat mezőibe írjunk be az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számok közül pontosan kilencet úgy, hogy bármelyik két oldalban szomszédos négyzeten lévő számok összege prímszám legyen. Mi lenne a megoldás?

De akkor miért van a kérdésben négyzeten? Na mindegy, ha nem kell négyzetre emelni, akkor itt egy megoldás:

5 2 1

8 3 10

9 4 7

Mondjuk még mindig nem értem, hogy akkor mit keres a kérdésben a négyzeten szó.

#11, ha úgy lenne, hogy négyzetBen, akkor már értenéd? De valóban félreolvasható így a feladat, és én azzal a jelentésével is foglalkoztam.

Ha úgy értelmezzük a feladatot, hogy a számok négyzetösszege kell, hogy legyen prímszám, akkor arra az a megoldás, hogy nem megoldható.

Első körben felrajzoltam egy gráfot, amiben két számot akkor kötöttem össze, hogyha azok összege prímszám. Azt kaptam, hogy két olyan szám van, amelyből csak két vonal indult ki, a 6-os és a 9-es, tehát ezen számok csak és kizárólag sarokban helyezkedhetnek el. Mivel a prímszámok a 2-t kivéve mind páratlanok, a 2-t pedig összegként nem tudjuk most megkapni, ezért minden páros mellett páratlannak, és minden páratlan szám mellett párosnak kell állnia. Tehát ha páratlannal kezdünk a sarokban, akkor "X"-alakban csak páratlanok lehetnek, a többi helyen pedig csak párosak lehetnek, vagy fordítva. Emiatt két esetett tudunk vizsgálni.

1. eset: a 6-ost írjuk be az egyik sarokba, ekkor a 9-es automatikusan kiesik. Ekkor a gráfban az történik, hogy a 4-es szám eredetileg 3 számmal volt összekötve, a 9-es kiesésével viszont már csak két szám lesz, az 1-es és az 5-ös, viszont sajnos pont ugyanezekkel a számokkal van összekötve a 6-os is, így mindkét páratlant nem tudjuk mindkét páros mellé beírni, tehát ez a lehetőség zsákutca.

2. eset: a 9-est írjuk a sarokba, ekkor a 6-os kiesik. A 9-es mellé csak a 4 és a 10 számokat írhatjuk. Mivel a 6-os kiesik, ezért a maradék szélső mezőkbe a 4 és 8 számok írhatóak. A gráfból viszont kiolvasható, hogy nincs olyan páratlan szám, amely a 2;4;8;10 számokkal egyidőben össze lenne kötve, ezért így középre nem tudunk mit írni, ezért itt sincs megoldás.

Összességében tehát ha úgy értelmezzük a feladatot, hogy a négyzetösszeg kell, hogy prím legyen, akkor nincs megoldás.

Mindenesetre szerintem ez egy szép feladat volt, annak ellenére, hogy sajnos nincs megoldása (illetve az a megoldása, hogy nincs megoldása).

6+1,6+5,6+7

9+2,9+4,9+8

Ezek mind primek,

Én elég biztos vagyok abban, hogy sehol nem kell négyzetre emelni. Egy négyzeten levő szám az simán egy négyzetszám, ha egészekről van szó, tehát:

„bármelyik két oldalban szomszédos négyzeten lévő számok összege prímszám legyen” = „bármelyik két oldalban szomszédos négyzetszámok összege prímszám legyen”

Így nem lehet értelmezni a feladatot.

Az tényleg sántít, hogy a szöveg elején táblázat van, és nem négyzetrács. Ez alapján én úgy javítanám, hogy a „négyzeten” szót a „mezőn”/„mezőben” szóra cserélem:

„Egy 3x3-as táblázatba írjunk be az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számok közül pontosan kilencet úgy, hogy bármelyik két oldalban szomszédos MEZŐN lévő számok összege prímszám legyen.”

(Egy táblázat mezői ugyanis általában nem négyzetek, ha mindent szigorúan szó szerint értünk. Ami a matematikában amúgy általában célravezető…)

A tegnapi 20:40-es (most 4.) válasz egy lehetséges megoldás.

11:30, de akkor a négyzetre emelés előtt még nem voltak négyzeten, pedig a szöveg szerint ott kellett volna lenniük, ezért nem gondolom jónak azt az értelmezést. (Másrészt én nem veled akartam kötözködni – annyira nem, hogy fogalmam sincs, melyik válaszokat írtad te –, csak tisztázni szerettem volna a feladatot egy kicsit más irányból közelítve a szöveghez, mint a korábbi válaszadók. Harmadrészt meg nekem is többször el kellett olvasni a feladatot, hogy megértsem, szóval ez tényleg egy bonyolult, sok bővítményt tartalmazó mondat volt.)

> „Szomszédos oszlopok vagy sorok felcserélve újabb megoldásokat eredményeznek.”

Nem. Annyira nem, hogy nincs is olyan helyes kitöltés, amiben felcserélhetnél két SZOMSZÉDOS sort (oszlopot), mert egy oszlopon (soron) belül felváltva kell jöjjenek a páros és páratlan számok, így két sort (oszlopot) cserélve azonos paritású számok kerülnének egymás fölé (mellé), amik összege páros. Az egyetlen páros (és pozitív) prímszám pedig a 2, de a felsoroltak közül bármelyik kettő összege legalább 3.

Viszont NEM szomszédos sorokat vagy oszlopokat (magyarán a szélsőket) cserélve már tényleg jó megoldásokat kapunk. Ezenkívül forgathatjuk is a táblázatot, meg az átlókra is tükrözhetünk (ugye a nem szomszédos oszlopok cseréje az pont a középső oszlopra tükrözés).

(A ma 00:47-es, 11. válasz is jó megoldást tartalmaz, csak annak a helyességére senki nem kérdezett még rá.)

Én vagyok a 3., 7., 9., 11. válaszoló, szóval aki eredetileg erősködött, hogy négyzetre kell emelni. Azt hittem, a 3. jó megoldás, de belátom, tévedtem.

Én is úgy indultam neki, mint a 12., csak én nem gráfokat rajzolgattam, hanem táblázatba felírtam a számpárokat, amelyek négyzetének összege prímszám.

Láttam, hogy 4 olyan szám van, ami 4 másik számmal alkot párt, elméletileg azok mehetnek középre. Némi rendezgetés után kizártam hármat, mert azoknak nincs megoldása, a negyedikre azt hittem, hogy jó, ezt a 3. válaszomban le is írtam. De az is rossz, elszámoltam magam. Szóval tényleg nincs úgy megoldás. A 12. erre hamarabb rájött, de a megfogalmazásából azt veszem ki, hogy ő matektanár vagy valami hasonló, szóval annyira nem szégyenlem magam.

Aztán ugyanazzal a módszerrel nekifeküdtem még egyszer, csak ugye négyzetreemelés nélkül, kijött a 11. válasz.

Nekem is tetszett a feladat, azért ugrottam neki, pedig a kérdező egyetlen hozzászólása elég tapló.