Melyik három n értékre igaz az alábbi egyenlet?

Kicsit átalakítva @3 levezetését:

(n+1)!(n-1)!/2=k^2

n*(n+1)*(n-1)^2/2=k^2,

tehát elegendő, ha n(n+1)/2 négyzetszám. Ezek pedig a háromszögszámok. Az illetékes sorozat pedig [link]

Ebben a 0 és 1 a feltétel miatt nem jó, 36=8*9/2, tehát 8 jó, 1225=49*50/2, tehát a 49 is jó, stb... Amúgy végtelen sok van, Euler konkrét formulát is adott hozzá.

"Hol lett átalakítva a 3-as válaszoló sorozata?"

Vagy az eredeti feladtból kiindulva:

(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)...(n^2-1)=k^2

Az m^2-1=(m-1)(m+1) azonosságot felhasználva:

(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)(4-1)(4+1)...(n-1)(n+1)=k^2

A páratlan sorszámú (-1-es) tényezőket faktoriálisként felírva:

1*2*3...*(n-1)=(n-1)!

A páros sorszámú (+1-es) tényezőket faktoriálisként felírva:

3*4*5...*(n+1)=((n-1)!/2)*n*(n+1) (az elejéről hiányzik a 2-es, ezért van a /2)

Az eredeti egyenletbe visszaírva lesz egy ((n-1)!)^2 és a többi:

(((n-1)!)^2)*n*(n+1)/2=k^2

n*(n+1)/2 négyzetszám.