Mi az ‾abcd‾ természetes szám?

A bal oldali szorzat értéke biztosan páratlan, ezért a jobb oldalnak is páratlannak kell lennie, ehhez pedig az kell, hogy a jobb oldal nevezője páros legyen.

Mivel a bal oldali szorzat biztosan pozitív egész szám, ezért a jobb oldalon lévő törtnek is pozitív egésznek kell lennie, tehát a nevezőben olyan pozitív számnak kell lennie, ami osztója a 2022-nek.

A nevezőben lévő műveleti sor eredmény legfeljebb 18 lehet (9-0+9-0=18). 2-től 18-ig két szám van, ami osztója a 2022-nek, ez a 2 és a 6, tehát két lehetséges megoldás:

a-b+c-d=2, és a-b+c-d = 6.

-Ha a nevező 2, akkor 2022/2=1011, tehát az egyenlet:

(2*a-1)(42*a*b+1)=1011, az 1011 kétféleképpen írható fel két egész szám szorzataként: 1*1011 és 3*337. Nyilvánvaló okokból a szorzat második tényezője mindig nagyobb lesz, tehát egyféleképpen tudjuk felírni az egyenletrendszereket:

1)

2*a-1 = 1 }

42*a*b+1 = 1011 }, ennek egyetlen megoldása: a=1, b=505/21, de mivel az 505/21 nem egy 10-nél kisebb nemnegatív egész szám, ezért ez nem lesz jó nekünk.

2)

2*a-1 = 3 }

42*a*b+1 = 337 }, ennek egyetlen megoldása: a=2, b=4, tehát a keresett számjegy első számjegye 2,második számjegye 4. Mivel eredetileg a-b+c-d=2 volt, ezért ide visszahelyettesítünk:

2-4+c-d=2, rendezés után: c=d+4, vagyis a harmadik számjegy 4-gyel nagyobb az utolsónál. Az ezeknek a feltételeknek megfelelő számok: 2440, 2451, 2462, 2473, 2484, 2495.

-Ha a nevező 6, akkor 2022/6 = 337. A 337 prímszám, tehát csak egyféle módon tudjuk felírni szorzatként: 1*337, tehát:

2*a-1 = 1 }

42*a*b+1 = 337 }, ennek egyetlen megoldása: a=1, b=8, tehát az első számjegy 1, a második 8. Eredetileg a-b+c-d=6 volt, tehát visszaírjuk: 1-8+c-d=6, rendezés után c=d+13, ennek pedig nem lesz olyan megoldása, hogy c és d egy időben pozitív egyjegyű számok, tehát ebben az esetben nincs megoldás.

2022=2*3*337. 337 prímszám.

A különböző zárójeles kifejezések közül csak a (42*a*b+1) lehet osztható 337-tel.

42*a*b+1=337 -> 42*a*b=336. a*b=8 vagy

42*a*b+1=2*337 -> 42*a*b=673. Nem osztható 42-vel. Páros szorzója nem lehet a 337-nek

42*a*b+1=3*337 -> 42*a*b=1010. Nem osztható 42-vel.

42*a*b+1=5*337 -> 42*a*b=1684. Nem osztható 42-vel.

42*a*b+1=7*337 -> 42*a*b=2358. Nem osztható 42-vel.

42*a*b+1=9*337 -> 42*a*b=3032. Nem osztható 42-vel.

42*a*b+1=11*337 -> 42*a*b=3706. Nem osztható 42-vel. És túl nagy.

Szóval a*b=8.

A 2022 oszthatósága miatt 2*a-1 lehet 1,2,3 vagy 6. Ebből a=1, b=8 vagy a=2, b=4.

A lehetséges megoldások:

a=1, b=8, (2*a-1)(42*a*b+1)=1*337, a-b+c-d=6, c-d=13 -> nem jó megoldás

a=2, b=4, (2*a-1)(42*a*b+1)=3*337, a-b+c-d=2, c-d=4

A megoldások: 2440, 2451, 2462, 2473, 2484 vagy 2495.

Ellenőrzés: (2*2-1)*(42*2*4+1)=2022/(2-4+4)

Ha a jobb oldalt átalakítod, akkor ezt kapod:

6/(b-a) = a + b/10

A jobb oldal értéke biztosan egy véges tizedestört, amiben legfeljebb 1 tizedesjegy van (ha b értéke 0, akkor egész számot kapunk), és értéke legalább 1. Meg kell néznünk, hogy a 6-ot mivel lehet osztani, hogy véges tizedestört kaphassunk. Nyilvánvaló okokból a nevezőben lévő különbség 0-8 közé eshet, ebből a 0;7;8 máris kiesik. Nézzük a többi esetet:

6/1 = 6, ez lehet

6/2 = 3, ez is

6/3 = 2, ez is

6/4 = 1,5, ez is lehet

6/5 = 1,2, ez is

6/6 = 1, ez is.

Hát, ezzel sokkal előrébb nem vagyunk. Vagy mégis?

Igen! A jobb oldalon lévő eredményből kiolvasható a és b konkrét értéke;

6 = 6 + 0/10, tehát a 60-at kapjuk. Sajnos 0-6=1 nem igaz, ezért kiesik.

3 = 3 + 0/10, tehát a 30-at kapjuk. Mivel 0-3 értéke nem 2, ezért ez sem jó.

2 = 2 + 0/10, tehát ez egy 20-as, de a 0-2 nem 3, ez sem jó.

1,5 = 1 + 5/10, 5-1=4, ez pont fasza, tehát a 15 jó lesz nekünk.

1,2 = 1 + 2/10, 2-1=1, ami nem 5, tehát ez sem nyert.

1 = 1 + 0/10, de 0-1=/=6, tehát ezzel sem vagyunk előrébb.

Mivel a létező összes lehetőséget számításba vettük, ezért egyetlen kétjegyű pozitív egész szám van, ami kielégíti a feltételeket, az pedig a 15.