Hogyan bizonyítsam be, hogy a kifejezés értéke minden pozitív egész n esetén kisebb 1-nél? 1/(2√1 + 1√2) + 1/(3 √ 2 + 2√ 3) + .... 1/((n+1)*√n + n*√(n+1))

Nem kell hozzá teljes indukció.

Nézzük meg ennek az összegnek az n-edik tagját: 1/((n+1)√n + n(√(n+1))). A NEVEZŐT írjuk fel másképp: √n * √(n+1) * (√(n+1) + √n). Ha utánaszámolsz, ez pontosan ugyanaz a nevező, mint amivel elindultunk. Most szorozzuk be a számlálót és a nevezőt is a √(n+1) - √n kifejezéssel:

1/((n+1)√n + n(√(n+1))) = [√(n+1) - √n]/[ √n * √(n+1)] * 1/[(√(n+1) + √n) * (√(n+1) - √n)].

Miért jó nekünk ez? Két tört szorzatáról van szó (erre alakítottuk át az eredeti kifejezésünk n-edik tagját). A második tört egyszerűen 1 lesz (hiszen (a+b)(a-b) = a^2-b^2, számolj utána). Az első tört pedig megint átalakítható:

[√(n+1) - √n]/[ √n * √(n+1)] = 1/[√n] - 1/[√(n+1)].

Most írjuk fel a teljes eredeti kifejezésünket egy nagy n-re, de a fentiek szerint átalakított formában. Kiderül, hogy ilyesmi kifejezést kapunk:

1 + ... 1/[√n] - 1/[√(n+1)] + 1/[√n+1] - 1/[√(n+2)] + 1/[√n+2] - 1/[√(n+3)] ...

Ha n a végtelenhez tart, mi marad az egészből? Pontosan 1.