1) Lehet-e két véges rendű elem szorzata végtelen rendű a) egy csoportban? b) egy kommmutatív csoportban?

1. Lehet, igen. Például itt is foglalkoznak ezzel a problémával: [link]

A példa szerint ha G a 2x2-es mátrixok halmaza Q felett a szorzással, akkor pl.:

0 1

1 0

és

0 2

0.5 0

egyaránt véges rangúak (a négyzetük az egységmátrix). A szorzatuk viszont végtelen rangú.

2. Kommutatív csoportban ilyen nincsen, hiszen (ab)^n = a^n*b^n, és ha olyan n-re emeljuk ab-t, aminek mind a, mind b rangja osztója, akkor ab^n=e lesz.

10-es részcsoport már S5-ben is van. Generátorok: p = (1, 2, 3, 4, 5) és q = (1, 5)(2, 4). Ez a D5-ös Diédercsoporttal izomorf. Minden 5-nél nagyobb n esetében is megvan ez a csoport, csak ki kell kötni, hogy p és q fixpontja minden 5-nél nagyobb pont. 5-nél kisebb n elméletileg sem lehetséges, mert az alcsoport rendje osztója a nagy csoport rendjének.

14-es részcsoportot ugyanígy lehet csinálni S7-ben és attól felfelé: p = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), q = (1, 7)(2, 6)(3, 5). Izomorf lesz a D7-es Diédercsoporttal, és 7-nél nagyobb n esetén ugyanígy járunk el.

18-nál szerintem n=8 a minimum, ami kell. Kell két db 3-as ciklus, meg egy 2-es ciklus (transzpozíció), amik diszjunktak, és ezek generálják a csoportot. Pl. S_8-ban (1, 2), (3, 4, 5) és (6, 7, 8). Ha n nagyobb, mint 8, akkor lehet fixpontokat definiálni, és ennyi. Itt is lehetne Diéderscoporttal izomorf csoportot is definiálni, de ahhoz minimum S9 kellene, vagyis nincs értelme.

b) Mely n-ekre van Sn-nek 48 elemű ciklikus részcsoportja?

Ha egymással diszjunkt permutációs ciklusokkal dolgozunk, azok egymással kommutálnak (teljesen mindegy, hogy melyiket végezzük el előbb, hiszen diszjunktak), így megvan a lehetőség arra, hogy a kívánt elemszámú csoportokat felírjuk kisebb ciklikus csoportok direkt szorzataként. A kérdés alapvetően: hogy tudjuk a 48-at úgy felbontani egymáshoz képest relativ prím számok szorzatára, hogy ezen számok összege minimális legyen? Az 1x48 nyilvánvalóan "pazarlás", marad a 3x16. Más, pl. 3x2x2x2x2 nem jó, mert hiába kicsi a számok összege, egy ilyen direkt szorzat nem lesz ciklikus sajnos. A legkisebb n, amibe 3x16 belefér, az 19. Egy ilyen 48-as rendű ciklikus csoport generátora:

(1, 2, 3)(4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19)