Egy háromszögben két oldal aránya 3 : 4. A körülírt kör sugara 12 cm, a harmadik oldalhoz tartozó magassága 8 cm. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei?

Lehet, hogy van szebb megoldás, én ezt találtam;

Nem tudjuk, hogy szög szempontjából milyen háromszögről van szó, ezért diszkutálnunk kell aszerint, hogy milyen szögű háromszöget vizsgálunk.

Első esetben vizsgáljuk azt, hogy a harmadik oldal a háromszög területét két részre vágja. Legyen a másik két oldal hossza 3x és 4x, ekkor a másik oldal hosszát ki tudjuk számolni x függvényében két Pitagorasz-tétel felhasználásával; a magasság két derékszögű háromszögre bontja a háromszöget, azok átfogói 3x és 4x hosszúak, így a harmadik oldal két része gyök(9x^2-64) és gyök(16x^2-64) hosszúak, ezek összege adja ki a harmadik oldal hosszát.

A háromszög területére kétféle képletet tudunk felhasználni;

T=(a*m)/2, ami most (gyök(9x^2-64)+gyök(16x^2-64))*8/2

T=a*b*c/(4R), ami most 3x*4x*(gyök(9x^2-64)+gyök(16x^2-64))/48

A területre ugyanazt kell kapnunk, gy ezeket egyenlővé tudjuk tenni. Hál'istennek azt a rusnya gyökös tagot mindkét oldalon le tudjuk húzni, így marad:

8/2 = 3x*4x/48, ez az egyenlet könnyen megoldható x-re, így megtudjuk az összes többi oldalát a háromszögnek, onnan pedig már a szögek egyszerűen jönnek.

A második esetben a másik oldalra merőleges magasság egybeesik az egyik oldallal. Ebben az esetben egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója 4x hosszú lesz, viszont Thalesz tétele miatt a köréírt kör átmérője 24 cm lesz, tehát x=6, innen pedig már lehet haladni.

A harmadik esetben a harmadik oldalra merőleges magasság kiesik a háromszögből, ekkor csak annyi történik, hogy a két gyökös különbsége lesz a harmadik oldal hossza, vagyis gyök(16x^2-64)-gyök(9x^2-64), és az egyenlet felírásakor ugyanúgy ki fog esni ez a különbség, tehát x-re ugyanazt fogjuk kapni.

Bármely oldalra:

a=2R*sinα.

A magasságra:

m=a*sinα

Innen menni fog?