Trapézban keletkező haromszogek?

Másik megközelítés: ehhez a hasonlóságot és a háromszög szinuszos területképletét használom fel, így lehet, hogy lesz, amit nem értesz.

Ha behúzzuk az átlókat, akkor az ABK és CDK háromszögek hasonlóak lesznek (szögeik páronként megegyeznek). Ha az AB oldal hossza a, a CD oldal hossza c (és a>=c), akkor a két háromszög hasonlósági aránya c/a lesz.

Érdemes egymás mellé kirajzolni a két háromszöget „azonos állásban”, hogy lássuk, ki kinek feleltehető meg a háromszögekben. A lényeg, hogy ha a nagyobb háromszögben lévő másik két oldalt elnevezzük mondjuk AK=x-nek és BK=y-nak, akkor a kisebbik háromszögben az oldalak x*(c/a) és y*(c/a) hosszúságúak lesznek.

Most térjünk vissza a trapézba; nézzük meg, hogy a K pontból milyen hosszú szakaszok indulnak ki:

BCK háromszög: y és x*(c/a)

ADK háromszög: x és y*(c/a)

Ezekben a háromszögekben a K közös csúcsnál ugyanakkora szögek állnak (csúcsszögek), ezt nevezzük el valami kappa szögnek. A szinuszos területképlet értelmében így alakulnak a háromszögek területei:

BCK háromszög: (y*x*(c/a)*sin(kappa))/2

ADK háromszög: (x*y*(c/a)*sin(kappa))/2

Látható, hogy mindkét esetben ugyanazokat szoroztuk össze, tehát a területre is ugyanazt az eredményt kapjuk.

Először is, rajzold le az ábrát.

Ha az AB a hosszabbik alap, akkor lesz nekünk egy ACD és egy BCD háromszögünk. Ennek a két háromszögnek a területe egyaránt (DC*m)/2, ahol az m a trapéz magassága.

Ennek a két háromszögnek van egy közös része, a CDK háromszög. Ha ezt levágjuk az ACF és BCD háromszögekből, akkor az ADK és BCK háromszögek maradnak. Ezek alapján pedig egyértelmű, hogy a két háromszög területe egyenlő lesz.

Ha mégsem, akkor algbrailag így tudjuk felírni:

T(ACD) = T(BCD) (mivel közös az egyik oldaluk és az arra merőleges magasságuk), a háromszögeket fel tudjuk írni összegként:

T(ADK) + T(CDK) = T(BCK) + T(CDK), az egyenlet mindkét oldalából levonva a közös tagot:

T(ADK) = T(BCK), és ezt kellett kapnunk.