Hogyan lehet kiszámolni, hogy egy bicikli lakat, ahol tíz szám van 0-tól 9-ig, hat sorban, hányféle variációban állítható?

Igen, ez általános iskolás kérdés. (Nem #3 vagyok). És ránézésre is lehet tudni a választ, hogy ez pontosan 10^10, azaz 10 milliárd lehetőség.

Az első számjegyre pontosan 10 lehetőséged van ÉS a második számjegyre pontosan 10 lehetőséged van ÉS a harmadik számjegyre pontosan 10 lehetőséged van stb. ÉS a tizedik számjegyre pontosan 10 lehetőséged van. Így a szorzási szabály szerint (ezért emeltem ki az ÉS-eket) 10*10*...*10=10^10 lehetőség van. A szorzási szabály precízen kimondva úgy hangzik, hogy ha A_1, A_2, ..., A_k rendre n_1, n_2, ..., n_k számosságú, ahol minden n_i (i=1,2,...,n) természetes szám (a 0-t is beleértve), úgy

|A_1×A_2×...A_k|=n_1*n_2*...*n_k. Itt × a Descartes-szorzatot jelöli. Szemléletesen ez pontosan azt jelenti, hogy az A_1, A_2, ..., A_k halmazokból pontosan n_1*n_2*...*n_k olyan rendezett k-as képezhető, melyeknek első eleme A_1-ből, második eleme A_2-ből, ..., k-adik eleme A_k-ból való. Jelen példában A_1=A_2=...=A_10=[10] ([m] a standard m elemű halmazt jelenti, azaz a {0,1,...,m-1} halmazt). És csakugyan, ezekből az A_i halmazokból akarunk rendezett 10-eseket csinálni. Kicsit leegyszerűsítve, de ez van mögötte, így lehet ezt precízzé tenni. Ez nem változtat azon a tényen, hogy egy általános iskolás feladat ez, aminek a megoldását ránézésre tudni lehet és kell, ez nagyon elemi kombinatorika.

Mondjuk egy nem általános iskolás kombinatorikafeladat a következő:

Ha M egy egész számokból álló véges halmaz, akkor jelölje S(M) azt az összeget, melyet úgy képezünk, hogy M elemeit csökkenő sorrendbe rendezzük, majd a tagokat felváltva pozitív vagy negatív előjellel látjuk el. Pl. S({1,2,3})=3-2+1=2

Legyen most adott az {1,2,3,4,5,6,7} halmaz. Határozzuk meg az S(M) számok összegét, ha M befutja a fenti halmaz összes nemüres részhalmazát. A megoldás könnyű, egyszerűen megnézzük, hogy az i(=1,2,...,7) szám hányszor és milyen előjellel szerepel az egész összegben. Vegyük mindjárt észre, hogy mindegyik szám pontosan ugyanannyiszor szerepel az egész összegben, és ugyanannyiszor szerepel pozitív és negatív előjellel bármely két különböző szám. Az i számot pontosan 2^6 részhalmaz tartalmazza, így 2^6-szor szerepel az összegben. Attól függ, hogy milyen előjellel szerepel i egy S(M) összegben, hogy milyen az i-nél nagyobb számok számának paritása M-ben. Ha i!=7, akkor pontosan 2^5 részhalmazban lesz páros sok i-nél nagyobb elem, és 2^5-ben páratlan sok. Így a 7-nél kisebb tagok kiesnek. Tehát a válasz pontosan 7*2^6=448.

És még ez is nagyon elemi kombinatorika. Igaz, ezen már kell gondolkodni, de egy emelt szintű érettségi hosszú feladatos részébe minden szívbaj nélkül betenném.