Mi alapján döntöm el hogy egy random invertálható mátrixot lineáris transzformációként, vagy bázistranszformációként fogok fel?

Annak ellenére, hogy a jegyzet hangsúlyozza hogy a bázistranszformáció az más mint a lineáris transzformáció, mert az egyik a koordinátarendszert békénhagyja, a másik meg a vektorokat hagyja békén. De invertálható mátrixok esetén ez a kettő dolog teljesen ugyanaz geometriailag.

Vegyük pl a diagonalizálást.

Ha egy A mátrixot felírok PEP^-1 felbontásban, akkor ez felfogható ez forgatásként, nyújtásként, majd visszaforgatásként.

De mivel a P mátrix vektorjai sajátbázist alkotnak, ezért felfogható egy sajátbázisba való transzformáció, majd nyújtás, aztán kanonikus bázisba való visszatranszformációként.

Mi akadályoz meg abban hogy egy Báziscsere mátrixot simán lineáris transzformációként fogjak fel?