Ha x + gyok(x) = 5, akkor mennyi x + 5/gyok(x) ?

Az #1 megoldása jó (pontosabban elég x-re megoldani az egyenletet), de az ilyen jellegű feladatoknál a cél az szokott lenni, hogy az ismeretlen meghatározása nélkül is meg tudjuk adni a kérdésre a választ. Ez azért szükséges, mert sok esetben nem tudjuk nem, hogy pontosan, de még közelítőleg sem az ismeretlen értékét meghatározni. Ennek fényében olyan átalakításokra érdemes törekedni, amik segítségével a kérdéses alakot tudjuk elérni;

Ha gyök(x)=0, akkor x=0, így az egyenletben 0+0=5 adódna, ami nem igaz, tehát gyök(x) értéke nem lehet 0. Emiatt oszthatjuk az egyenletet gyök(x)-szel, ekkor ezt kapjuk:

gyök(x) + 1 = 5/gyök(x), adjunk az egyenlethez x-et:

x+gyök(x)+1 = x + 5/gyök(x), a bal oldalon lévő x+gyök(x) értéke (az eredeti egyenlet alapján) 5, tehát:

5+1 = x + 5/gyök(x), innen pedig

6 = x + 5/gyök(x), tehát a kérdésre a válasz: 6

Persze ez még önmagában nem elég, mivel azt is meg kell mutatnunk, hogy létezik olyan x, hogy x+gyök(x)=5. Ezt például úgy tudjuk megmutatni (ha az x értékét nem tudjuk meghatározni, hogy x=0 esetén az x+gyök(x) értéke 0, x=16 esetén az x+gyök(x) értéke 20, az x+gyök(x) függvény folytonos, ezért (a Bolzano-Weierstrass-tétel értelmében) a függvény 0 és 20 között minden értéket felvesz legalább egyszer, így az 5-öt is.