Melyik a legkisebb területű háromszög?

#1

Miért is?

Vektorosan oldjuk meg. Legyen az origó a két félegyenes metszéspontja, a félegyenesek egységnyi hosszúságú irányvektorai e és f, továbbá p az origóból az adott P pontba mutató vektor. A háromszög két oldala az ae, bf vektorok (ahol a, b pozitív valós számok), a harmadik oldal átmegy P-n, tehát valamilyen 0 < μ < 1 -re

μae + (1-μ)bf = p

A továbbiakban a-t tekintjük változónak, ebből fejezzük ki b-t. Az egyenletet jobbról szorozva f-fel ill. e-vel vektoriálisan:

μa(exf) = pxf, amiből μ = |pxf|/(a|exf|)

(1-μ)b(fxe) = pxe, amiből b = |pxe|/((1-μ)|fxe|)

|pxf|, |pxe|, |exf| pozitív konstansoknak tekinthetők, vagyis μ = C/a, b = D/(1-μ), valamilyen C, D konstansokkal.

A háromszög területe T = (1/2)ab|exf|, a minimumhoz elég az ab szorzatot vizsgálni:

ab = aD/(1-μ) = aD/(1-C/a) = a²D/(a-C). Ennek a minimuma a=2C-nél van, ez deriválással könnyen ellenőrizhető.

Kapjuk, hogy a minimumnál μ értékére μ = C/a = C/2C = 1/2, vagyis

ae/2 + be/2 = p. Ami vektoros kifejezése annak, hogy P a háromszög origóból kiinduló súlyvonalán van, azaz felezi a harmadik oldalt.

[link]

A KöMaL B.3847. feladat - egyelőre - nem érhető el. Ha majd igen, akkor pótolom a linket.