Egy matek feladatban kérném a segítségeteket. Valaki le tudná nekem ezt a feladatot vezetni szépen, érthetően? Sajnos neki sem tudok állni😅 Öt és hét kilogrammos mérőkkel hány kilogrammos csomagokat tudsz megmérni egy kétkarú mérlegen?

Ha a súlyokat csak az egyik serpenyőbe tehetjük, akkor ezt az egyenletet tudjuk felírni; ha az 5 kg-os súlyból x, a 7 kg-os súlyból y darabot használunk, akkor:

5*x + 7*y = c, ahol c a csomag súlya, c, x és y értéke pedig nemnegatív egész számok. Rendezzük az egyenletet x-re:

x = (c - 7y)/5

A jobb oldali törtnek nemnegatív egésznek kell lennie. Az 5-tel oszthatóságot könnyedén tudjuk kezelni; 5-tel akkor osztható a különbség, hogyha az utolsó számjegyeik különbsége 0 vagy 5. Írjuk fel a 7-es szorzótáblát:

7 * 0 = 0

7 * 1 = 7

7 * 2 = 14

7 * 3 = 21

7 * 4 = 28

7 * 5 = 35

7 * 6 = 42

7 * 7 = 49

7 * 8 = 56

7 * 9 = 63

7 * 10 = 70, innentől ismétlődni fognak az utolsó számjegyek.

Ez azt jelenti, hogy ha c értéke legalább 63, akkor mindenképp tudunk hozzá 7-nek olyan többszörösét választani, amivel vett különbsége osztható lesz 5-tel. Például ha c=8469 kg, akkor y helyére választhatjuk a 7-est, így x=(8469-7*7)/5=1684, tehát a 8469 kg-os csomag kiméréséhez 7 darab 7 kg-os és 1684 darab 5 kg-os súlyra van szükség.

A 63 alatti értékékeket úgy tudjuk összeszedni, hogy y helyére egyesével beírjuk a számokat (amíg a 7*y értéke 63 alatt marad), majd megnézzük, hogy mely számokból tudjuk az eredményt kivonni úgy, hogy az eredmény osztható legyen 5-tel;

7 * 0 = 0 -> 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60

7 * 1 = 7 -> 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62

7 * 2 = 14 -> 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59

7 * 3 = 21 -> 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61

7 * 4 = 28 -> 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58

7 * 5 = 35 -> 35, 40, 45, 50, 55, 60

7 * 6 = 42 -> 42, 47, 52, 57, 62

7 * 7 = 49 -> 49, 54, 59

7 * 8 = 56 -> 56, 61

(Lehet, hogy van elegánsabb megoldás is, te ez is megteszi.)

A fenti felsorolásban megadott számok tehát mind megalkothatóak a súlyokból, amik pedig nincsenek benne, azok nem.

Ha a mérleg mindkét serpenyőjébe lehet súlyokat tenni, akkor ezt az egyenletet tudjuk felírni:

5*s + 7*t = c + 5*z + 5*k, ahol s;t;c;z;k pozitív egész számok. Ezt az egyenletet tudjuk rendezni;

5*(s-z) + 7*(t-k) = c

Ez az egyenlet pont ugyanolyan alakú, mint az előbbi, ez jobban látszik, hogyha az s-z=x és t-k=y helyettesítést használjuk:

5*x + 7*y = c

Az előbbi értelmezéshez képest most annyi a különbség, hogy x;y értékei negatív egészek is lehetnek. Ennek az egyenletnek pedig bármilyen pozitív c esetén lesz megoldása; rendezzük úgy, mint az előbb;

x = (c-7y)/5

Ahogy az előbb, c utolsó számjegye lehet bármi (nyilván 0-9-ig), 7*y utolsó számjegye is, így bármilyen c-hez tudunk alkalmas y-t találni, hogy a jobb oldali tört értéke egész legyen.

Vegyünk egy olyan számot, ami az első értelmezés szerint nem volt kimérhető, például a 2, ekkor c=2, így

x = (2-7y)/5, itt legyen y=6, így x = (2-7*6)/5 = -8, tehát:

5*(-8) + 7*6 = 2, az 5 kg-os súlyokat tegyük át a jobb oldalra:

7*6 = 2 + 5*8, vagyis a 2 kg-os csomagot úgy tudjuk kimérni, hogy a bal serpenyőbe teszünk 6 darab 7 kg-os súlyt, a jobb oldaliba pedig a csomagot és 8 darab 5 kg-os súlyt.

Ezzel tehát beláttuk, hogy a második értelmezés szerint bármilyen (nemnegatív egész) súlyú csomagot ki lehet mérni.

"Öt és hét kilogrammos mérőkkel hány kilogrammos csomagokat tudsz megmérni egy kétkarú mérlegen?"

A többesszámból nem derül ki, hogy egy-egy darab 5 és 7 kilogrammos etalon súlyod van vagy tetszőlegesen sok.

"ez egy alsós gyermeknek lett kitalálva!"

Akkor szerintem csak 1-1 db súly van. Legyen a mérendő a jobb serpenyőben.

Egyet-egyet raksz a bal serpenyőbe. Kettőt raksz a bal serpenyőbe. 7-es a balba 5-öst a jobba.

Éa a plussz: ha nem raksz fel súlyt, akkor 0 kg-os testet is mérhetsz. :-)

#7, tekintve, hogy a feladat nem kötötte ki, hogy melyik serpenyőkbe lehet tenni a súlyokat, nem bonyolítottam túl...

De ha mondjuk a kedves kérdező elárulta volna, hogy milyen szintű a feladat, akkor annak megfelelően adtam volna én is választ. Mert ha nem ezek a súlyok lettek volna megadva, hanem mások, akkor máris nem lenne annyira egyszerű a megoldás, az én godolatmenetem viszont bármilyen súlypárra ráhúzható.

Nyilvánvaló, hogy ha mindkét serpenyő használható, és ki tudunk mérni pontosan 1 kg-ot, akkor bármilyen pozitív egész tömeget meg tudunk határozni. És az is igaz (bár előnyösebb, hogy ha egy kicsit magasabb szinten van a matekban), hogy majdnem bármikor kimérhető a két serpenyő segítségével pontosan az 1 kg-os súly, ugyanis az Ax+By=1 egyenletnek mindig van megoldása NxN-en, kivéve akkor, hogyha A és B nem relatív prímek. Ennek ismerete nélkül is megoldható a feladat bármikor, csak sokáig tart, mire az ember talál egy megfelelő megoldáspárt.

Szerintem annak ismeretében, hogy ez egy alsósoknak szánt feladat és szerepel benne a kétkarú mérleg, a 4-es megoldás sem felel meg annak, amit a feladat megoldásaként elvárnak.

Nem létezik olyan kétkarú mérleg, amire 40 és 42 kg-ot lehet és kell felpakolni ahhoz, hogy megmérjenek egy 2 kg-os csomagot.

A feladat ésszerű értelmezése, hogy 1 db 5 kg-os és 1 db 7 kg-os súly van.