A/B törtre igaz, hogy 2020/2021 < A/B < 2021/2022. Mennyi min{A+B} ?

Csak közös nevezőre kell hozni, és megkeresni, hol a legkisebb A és B összege:

(2020 * 2022) / (2021 * 2022) < A / B < (2021 * 2021) / (2022 * 2021)

Ha kiszámolod (igazából nem is kell, mert tudjuk, hogy X * X csak eggyel nagyobb az (X-1)*(X+1) -nél)

Tehát a két szélsőő szám számlálójának különbsége 1, ami azt jelenti, hogy ezzel a nevezővel nem lesz közöttük racionális szám, vagy meg kell szoroznunk 2-vel a nevezőket és számlálókat, hogy legyen közöttük egy racionális szám ugyanazon nevezővel:

(2020 * 2022 * 2) / (2021 * 2022 * 2) < A/B < (2021 * 2021 * 2) / 2021 * 2022 * 2)

A két szám között már van egy racionális szám ezzel a nevezővel:

A = 2020 * 2022 * 2 + 1 = 2021 * 2021 * 2 - 1

B = 2021 * 2022 * 2

A + B = 2022 * 2 * (2020 + 2021) + 1 = 4044 * 4041 + 1 = 16341804 + 1 = 16341805

Ha bármit elírtam, bocsánat :D

#1

Jobb eljárás kell, mert van ennél van kisebb szám is.

2020/2021=0,999505195

2021/2022=0,999505440

2 498 762/2 499 999=0,999505200 és 2 498 762+2 499 999=4 998 761

És vannak még sokkal kisebbek is.

Legyen A+B=k, ekkor rendezés után A/B=(k/B)-1, ezt írjuk be A/B helyére:

2020/2021 < (k/B) - 1 < 2021/2022, ezt rendezzük k-ra:

(4041/2021)*B < k < (4043/2022)*B

Mivel A;B pozitív egészek (bár a feladat nem mondja ki, de valószínűleg erre gondolt a feladat kitalálója), és A+B=k, ezért a B<k egyenlőtlenségnek is teljesülnie kell. Azt a megoldást keressük, ahol k a legkisebb pozitív egész szám B pozitív egész mellett. Innen már nem tűnik bonyolultnak a befejezés.

#1-es vagyok, megvan mit rontottam el, a végén lehet 7-tel egyszerűsíteni:

A = (2020 * 2022 * 2 + 1) / 7 = 1 166 983

B = (2021 * 2022 * 2) / 7 = 1 167 561

A + B = 2 334 544

#4

Sajnos ennél is van jobb:

2020/2021=0,999505195

2021/2022=0,999505440

587944/588235=0,999505300 és 587944+588235=1176179

2020/2021 < 4041/4043 < 2021/2022

4041/4043=0,999505317

De 3-as képletét csak végigszámoltam B=1...sok-ra, nem átalakításokkal kaptam az eredményt.