Sos, matek? Koordináta-geometria

[link]

Itt bepotolhatod

Először arra kell rájönnöd, hogy a körök középpontjai hol lehetnek. Mivel a kör érinti a tengelyeket, ezért a tengelyektől egyenlő távolságra lévő pontokra van szükséged. Például nézzük meg, hogy melyek azok a pontok, amelyek 5 egység távolságra vannak a tengelyektől. Erre 4-féle megoldást tudunk adni:

I. síknegyedben: (5;5) pont

II. síknegyedben: (-5;5) pont

III. síknegyedben: (-5;-5) pont

IV. síknegyedben: (5;-5) pont

Ezek alapján általánosságban azt mondhatjuk, hogy ha a kör sugara r, akkor a kör középpontja:

I. síknegyedben: (r;r) pont

II. síknegyedben: (-r;r) pont

III. síknegyedben: (-r;-r) pont

IV. síknegyedben: (r;-r) pont, mindegyik esetben r>0 valós szám

Arra is viszonylag hamar rá lehet jönni, hogy a két érintési pontot leszámítva a kör pontjai ugyanabba a síknegyedbe esnek, mint a kör középpontja, tehát a kör középpontjának síknegyedét aszerint tudjuk meghatározni, hogy a P pont melyik síknegyedben van (a tengelyeken fekvő pontokat az azáltal elválasztott síknegyedek mindegyikéhez hozzáértjük, ezt majd az a)-ban látjuk).

c) A P pont: (-1;4), ami a II. síknegyedben található, tehát a kör középpontját (-r;r) alakban keressük. Írjuk fel a kör egyenletét; ahogy szoktuk, a képletben u és v helyére beírjuk a kör koordinátáit:

(x-(-r))^2 + (y-r)^2 = r^2, vagyis

(x+r)^2 + (y-r)^2 = r^2

Ezt az egyenletet a P(-1;4) pont koordinátái ki kell, hogy elégítsék, ezért ahogy szoktuk, x és y helyére írjuk be a koordinátákat:

(-1+r)^2 + (4-r)^2 = r^2

Ezzel egy másodfokú egyenletet kaptunk r-re, amit könnyedén meg tudunk oldani. Az egyenlet pontos megoldásai: r=5+2*gyök(2) és r=5-2*gyök(2). Mivel az elején kikötöttük, hogy r a kör sugara, emiatt r>0 jöhet csak számításba, tehát az r=5+2*gyök(2) eredmény lesz nekünk jó, így a kör középpontja: K(-(5+2*gyök(2)) ; 5+2*gyök(2)), a kör egyenlete:

(x+5+2*gyök(2))^2 + (y-(5+2*gyök(2)))^2 = (5+2*gyök(2))^2.

Ezek alapján próbáld meg a c) megoldani.

Most nézzük az a)-t. Az a) azért érdekes, mert ott egy tengelypontot adtak meg. Ez a pont az I. és a II. síknegyedet választja el egymástól, ezért a kör középpontja ezen két síknegyeden található, tehát két kört fogunk kapni. Nézzük az I. síknegyedbeli megoldást; ott a kör középpontját (r;r) alakban keressük, a kör egyenlete: (x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2, itt y és y helyére beírjuk a P pont koordinátáit:

(0-r)^2 + (1-r)^2 = r^2, itt újra egy másodfokú egyenletet kapunk, aminek megoldása: r=1, tehát a kör középpontja K(1;1), a kör egyenlete:

(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1^2.

A II. síknegyedre ugyanezek a lépések használhatóak, de egyszerűbben is meg tudjuk adni a megoldást; nyilvánvaló okokból a II. síknegyedbe eső kör középpontja az I.-be eső kör középpontjának tengelyesen szimmetrikus képe lesz az y-tengelyre nézve, így egyszerűen csak tükrözzük az y-tengelyre a pontot, így a (-1;1) pontot kapjuk, a sugara nem változik, így a kör egyenlete: (x+1)^2 + (y-1)^2 = 1^2.