Ehhez az oszthatósági feladathoz hogyan kezdjek hozzá?

A 19 egy prímszám. Mint prímszám, vagy előfordul az "a" szám prímtényezős felbontásában, vagy nem. Az a^40 ezért pontosan akkor lesz osztható 19-cel, ha az "a" is az. Ugyanezt elmondhatjuk a "b" és a b^40 viszonylatában is. Azt tehát tudjuk, ha 19 osztója a-nak és b-nek, akkor osztója lesz (a^40 + b^40)-nek is. Azt kell még megmutatni, hogy amennyiben 19 nem osztója a-nak és/vagy b-nek, akkor (a^40 + b^40) sem lesz osztható 19-cel.

Ehhez gondoljuk végig a következőt. Ha "a" prímtényezős felbontásában a 19 nem szerepel, akkor "a" 19-cel osztva 18 féle maradékot adhat: 1, 2, 3, ..., 18 (0 nem lehet maradék, mert az pont a 19-cel való oszthatóságot jelentené). Ha ez a maradék pl. 2, akkor a^2 maradéka 19-cel osztva 2^2=4. Általánosan: ha "a" 19-cel osztva "r" maradékot ad, akkor a^i ugyanúgy 19-cel osztva pontosan annyi maradékot ad, mint r^i (nyugodtan vezesd le, próbáld ki). Mivel a 19 egy prímszám, a maradékosztály (a számok 0-tól 18-ig) egy algebrai csoportot alkotnak. Egy csoport bármely elemét a csoport rendjének hatványára emelve önmagát kapjuk vissza (rend = hogy hány eleme van a csoportnak). Vagyis pl. 3^19 19-cel osztva 3-at ad maradékul, 7^19 pedig 7-et.

Ennek megfelelően ha "a" 19-cel osztva n-t ad maradékul, "b" pedig m-et, akkor (a^40 + b^40) szintén 19-cel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint (n^4 + m^4), vagy rövidebben: (a^40 + b^40) ≡ (n^4 + m^4) mod 19.

Ha "n" és "m" 0 és 18 közötti számok, akkor (n^4 + m^4) csak akkor lesz osztható 19-cel, ha n = m = 0. Vagyis megint ott tartunk, hogy "a" és "b" is oszthatók voltak 19-cel.