Horvát matematikaverseny oszthatósági feladata. Ki tudja megoldani?

1) 792 = 2^3 * 3^2 * 11

-> Az utolsó 3 számjegy alkotta szám osztható 8-cal

-> A számjegyek összege osztható 9-cel

-> A számjegyek váltakozó előjeles összege osztható 11-el

2)

45z osztható 8-cal -> z=6

Az eddigi számjegyek összege 1+3+4+5+6=19, és 0<=x+y<=18, tehát a teljes szám számjegyeinek összege csak 27 és 36 lehet, vagyis:

a. x+y=8

b. x+y=17

Ez már elég kevés eset, végig is lehet akár próbálgatni, max. 20 perc lenne. De felhasználjuk a 11-es oszthatósági szabályt is:

3)

Ezt is esetekre bontom, mivel elég kevés 11-el osztható összeg jöhet ki. Csak 0, 11 és -11 jöhet szóba, minden más túl kicsi/nagy lesz:

I. alternáló összeg = 0

1-3+x-y+4-5+6=0

x-y=-3

Az előző egyenletekkel összeadva kiejthető y, és megkapjuk a 2 esetünkre x-et és y-t:

a. x=5/2 -> nincs megoldás

b. x=7 -> y=10 -> nincs megoldás

II. alternáló összeg = 11

x-y=8

a. x=8 -> y=0 -> VAN EGY MEGOLDÁSUNK

b. x=25/2 -> nincs megoldás

Nyilvánvalóan az alternáló összeg nem lehet nagyobb mint 11, mert az x és y értékek 9 fölé kerülnének

III. alternáló összeg = -11

x-y=-14

a. x<0 -> nincs megoldás

b. x=3/2 -> nincs megoldás

Nyilvánvalóan az alternáló összeg nem lehet kisebb mint -11, mert az x és y értékek 0 alá kerülnének

Tehát az egyetlen megoldás az x=8, y=0

Ellenőrzés: 13080456/792=1743 -> OK, és ez az egyetlen megoldás, mert minden esetet ellenőriztem remélhetőleg.

2

Ne bassz! Az x-et eltaláltam.

Pont ugyanennek a feladanak a levezetése fent van Youtube-on is:

https://www.youtube.com/watch?v=_8Ui07gyEuQ

Angol nyelvtudás előny.

A 792 osztható 8-cal, vagyis a kívánt számnak is oszthatónak kell lennie 8-cal. A 8-cal való oszthatósági szabályból következik, hogy z=6.

A 792 9-cel is osztható, vagyis 1+3+x+y+4+5+6 osztható 9-cel, vagyis x+y+1 osztható 9-cel. Mivel x és y kisebb 10-nél, ezért x+y=8 vagy x+y=17.

És 11-gyel is osztható a 792. A 11-gyel való oszthatósági szabályból következik, hogy 1-3+x-y+4-5+6 osztható 11-gyel, vagyis x-y+3 osztható 11-gyel. Mivel x és y kisebb 10-nél, ezért x-y+3=0 vagy x-y+3=11. Vagyis x-y=-3 vagy x-y=8.

Ha x+y=17, akkor nincs olyan x és y, ami megfelel az utóbbi kitételeknek is. Tehát x+y=8. Ebből egy lehetőség adódik:

x=8 és y=0.

2es!

Nesze egy keksz, meg is simizom a buksidat.