Mi a levezetés az x*{1/x} függvény ábrázolásához?

#1 kivéve 0-nál ugye :)

kikötöd, hogy x nem lehet = 0-val (ott lesz egy lyuk a függvényeden)

Minden más pontra érvényes lesz, hogy x*(1/x) = 1

Ez egy eléggé gyilkos függvény; matematikailag le tudjuk írni a függvényt, de ábrázolni eléggé nehézkes lenne. A WolframAlphának így sikerült:

[link]

Persze be lehet állítani, hogy milyen intervallumokon ábrázolja a függvényt, akkor egy kicsit átláthatóbbá válnak a dolgok.

Szóval nézük, hogy mit lehet vele kezdeni; a függvényt szakaszonként tudjuk ábrázolni;

-Ha x>1, akkor nem nehéz rájönni, hogy {1/x}=1/x, így x*{1/x}=x*1/x=1, tehát ha x>1, akkor a konstans 1 függvényt kell ábrázolnunk.

-Ha x=1, akkor 1*{1/1} = 1*{1} = 1*0 = 0, tehát az (1;0) pontot ábrázoljuk (az (1;1) ponthoz pedig üres karikát teszünk).

-Ha 0<x<1, akkor az a gond, hogy az 1/x függvény az összes pozitív valós számot felveszi, tehát gyakorlatilag az x>0-ra értelmezett {x} függvény van besűrítve az a ]0;1[ intervallumra. Érdemesebb áttérni a függvény másik alakjára: {x}=x-[x], ahol [x] az x szám egészrésze, ennek megfelelően x*{1/x} = x*(1/x - [1/x]) = 1 - x*[1/x] Ez azért jobb nekünk, mert egy szám egészrészét könnyebben meg tudjuk határozni, mint a törtrészét; azt tudjuk, hogy az [x] esetén ha n<=x<n+1, ahol n pozitív egész, akkor [x]=n. Ugyanez igaz itt is; ha n<=1/x<n+1, akkor [1/x]=n. Az egyenlőtlenséget rendezzük x-re; mivel mindenki pozitív, ezért elég csak reciprokkal számolni; 1/n>=x>1/(n+1). Tehát ha ez az egyenlőtlenség teljesül, akkor az 1-x*n függvényt kell ábrázolni. Például ha n=5, akkor az 1/5>=x>1/6 intervallumon kell az 1-x*5 függvényt ábrázolni, ami egy lineáris függvény.

-Ha x=0, akkor a függvény nem értelmezhető.

-Ha -1<x<0, akkor ugyanaz a gondolatmenet, mint az előbb; ha n<=1/x<n+1, akkor [1/x]=n, a különbség csak annyi, hogy mivel x negatív, ezért n csak negatív egész lehet. Mivel az előjelek így itt is azonosak, ezért egy egyszerű reciprokkal; 1/n>=x>1/(n+1), akkor [1/x]=n, így ugyanúgy az 1-x*n függvényt kell ábrázolni. Például ha n=-7, akkor a -1/7>=x>-1/6 számhalmazon kell az 1-x*(-7)=1+7x függvényt ábrázolni.

-Ha x=-1, akkor -1*{1/(-1)} = -1*{-1} = -1*0 = 0.

-Ha x<-1, akkor a függvény másik alakjával: x*(1/x - [1/x]) = 1 - x*[1/x]. Ha x<-1, akkor az 1/x értéke mindig -0,..., ezekről tudjuk, hogy mindnek (-1) az egészrésze, tehát így alakul a függvény: 1 - x*(-1) = 1+x, tehát ha x<-1, akkor az 1+x függvényt kell ábrázolni.

Beírtam ellenőrzésként, hogy valóban az 1+x függvényt kapjuk-e x<-1-re, és így egy egész jó függvényábrázolást csinált;

[link] +%3D+1%2Bx

Már csak x>1-re kell ábrázoltatni:

[link] +where+1%3Cx%3C10

(Sajnos máshogy nem akarja ábrázolni, de ennyiből talán elhisszük, hogy valóban a konstans 1 függvény lesz a képe.)