Ezt hogyan ertelmezzem?

Vegyünk egy konkrét esetet, például a=2, x=5, ekkor két függvényt vizsgálunk;

Az első esetben a 2^x függvényt (f) vizsgáljuk, ahol x<5 racionális, ennek meg tudjuk határozni a szuprémumát (sup(f)), vagyis a legkisebb felső korlátját.

A második esetben ugyanúgy a 2^x függvényt (g) vizsgáljuk, csak itt x>5 racionális, ennek a függvénynek meg tudjuk határozni az infémumát (inf(g)), vagyis a legnagyobb alsó korlátját.

A definíció azt mondja, hogy

sup(f) = inf(g), és ez bármilyen választott x-re igaz lesz (a rögzített x akár egész, akár racionális, akár irracionális, vagyis valós).

Ebben a konkrét esetben nem is nehéz rájönni; "megsejtjük", hogy a szuprémum és az infémum is 2^5=32 lesz, ekkor azt kell belátni, hogy

2^x < 2^5 mindig teljesül, hogyha x<5. Ez szemlátomást így van, tehát valóban 32 lesz a szuprémum (függetlenül attól, hogy értékként nem veszi fel).

A másik függvénynél a 2^x > 2^5 egyenlőtlenséget kell belátni, hogy x>5-re mindig teljesül, ami szintén szemmel láthatólag így van, tehát az infémum 32 lesz (függetlenül attól, hogy értékként nem veszi fel).

Tehát sup(f)=32, inf(g)=32, így viszont sup(f)=inf(g).

A lépések pont ugyanazok, mint amit a 2-es válaszban leírtam, csak az 5-ösöket cseréld le mindenhol gyök(2)-re. Tehát be tudod látni, hogy az egyik esetben az infémum, a másik esetben a szuprémum lesz az a^(gyök(2)).

Ahogy a 3-as írta, a racionális hatványkitevő megkötés azért kell a feladatba, mert bármilyen (pozitív) szám racionális hatványkitevőjét tudjuk értelmezni, és ezt felhasználva tudjuk értelmezni az irracionálist is.

Igen, ezzel megközelítő eredményt tudsz adni.

Például ha az alap 2, akkor a 2^gyök(2)-re az alapján tudsz közelítő értéket adni, hogy tudod, hogy 2^1,41<2^gyök(2)<2^1,42, az egyenlőtlenség két oldalán található hatványokat pedig tudjuk értelmezni. Ha ennél pontosabb értéket szeretnél, akkor a kitevőt közelebbi számok közé kell szorítanod.

Ezek számolása viszont számológép nélkül eléggé nehézkes, tehát olyan nem lesz, hogy számológép nélkül tudsz megadni „nagyon közeli” értéket.

#5osre, #3as vagyok

A matek nem arra van, hogy ki tudj számolni valamit.

a^gyök(2) értéke a^gyök(2).

A definíció megmondja, hogy ezt a számot hogyan tudjuk értelmezni, hiszen eddig csak a racionális számokra tudtunk hatványozni.

a^gyök(2) értéke az ha veszed az összes, végtelen sok gyök(2)-nél kisebb racionális számot (r), a^r-et kiszámolod az összesre, és veszed ennek a halmaznak a szuprémumát. Ez egy absztrakt definíció, aminek a segítségével már tudjuk értelmezni az irracionális számra való hatványozást.

Az, hogy ennek mi a közelítő értéke, azt meg meg tudjuk kapni úgy, hogy veszünk gyök(2)-höz közeli racionális számot, és arra emeljük a-t.