Ilyenkor deriválhatok?

Most idetoltál egy képletet, ebből semmit nem tudunk mondani.

"az alfa és a h egymástól függ, változók végülis."

Ki tudod fejezni egyikkel a másikat?

"A maximális térfogatot keresem, ilyenkor ugye deriválni kell."

Nem. Kelleni éppen nem kell, de azzal is lehet számolni.

Jobb lenne, hogyha leírnád az eredeti feladatot, mert ezzel nem nagyon tudunk mit kezdeni.

Legyen a körcikk középponti szöge Ł, ekkor a körív hossz 2*2*pi*Ł/360 = pi*Ł/90 dm hosszúságú lesz, ez lesz az alapkör kerülete.

Számoljuk ki az alapkör sugarát (r):

2*r*pi = pi*Ł/90, ennek megoldása

r = Ł/180 dm.

A magasság (M) Pitagorasz tételével számolható;

(Ł/180)^2 + M^2 = 2^2, ennek megoldása

M = gyök(4-(Ł/180)^2)

Innen a térfogat Ł függvényében;

V = r^2*pi*M/3 = (Ł/180)^2 * pi * gyök(4-(Ł/180)^2) / 3

Itt érdemes mindenkit bevinni a gyökjel alá:

V = gyök[ (Ł/180)^4 * p^2 * (4-(Ł/180))^2 / 9 ]

A gyökjel nem befolyásolja a maximumhelyet, ezért a számításoknál most elhagyható, ugyanez a helyzet a /9-cel és a *pi^2-tel is. Tehát elég az

(Ł/180)^4 * (4-(Ł/180)^2)

függvényt vizsgálni.

Innen már meg tudnád oldani?

Folytatás deriválás nélkül, a számtani-mértani közepek felhasználásával (csak hogy ilyet is láss);

(Ł/180)^4 * (4-(Ł/180)^2)

Vezessünk be egy másik ismeretlent; (Ł/180)^2=t, vagyis

t^2 * (4-t), ennek kellene a maximuma.

Írjuk ki az összes tényezőt: t * t * (4-t)

Ha a kifejezést egy pozitív számmal szorozzuk, az nem változtatja meg a maximum helyét. Szorozzuk meg 2-vel, de úgy, hogy a 2-es szorzót a (4-t)-hez tesszük, ekkor ezt kapjuk: t * t * (8-2t)

A köbgyökvonás szintén nem változtatja meg a maximum helyét; köbgyök( t * t * (8-2t) )

A számtani-mértani közepek közti összefüggés alapján ennek a kifejezésnek az értéke nem lehet több a tényezők átlagánál, vagyis (t+t+(8-2t))/3-nál, ami 8/3, tehát

köbgyök( t * t * (8-2t) ) <= 8/3

Egyenlőség pedig akkor lehet csak, hogyha a tényezők egyenlőek tudnak lenni, vagyis t=t=(8-2t) teljesül, ez pedig t=8/3 esetén fog teljesülni. Ez azt jelenti, hogy ennek és az eredeti kifejezésnek is a maximumhelye t=8/3, viszont nekünk nem t értéke kell, hanem Ł-é, tehát vissza kell helyettesítenünk;

t = 8/3, vagyis

(Ł/180)^2 = 8/3, ennek (pozitív) megoldása

Ł = (gyök(8/3)*180)°, tehát a maximális térfogathoz ekkora középponti szögű körcikket kell kivágnunk a körlemezből, innen pedig már ki tudod számolni a maximumot is.