Hogyan kell megszerkeszteni azt a szakaszt, ami párhuzamos egy egyenlő szárú derékszögű háromszög alapjával és a háromszöget két egyenlő területű részre bontja?

A levágott háromszög hasonló lesz az eredeti háromszöghöz. Ahhoz, hogy a területe fele legyen, az oldalai 1/gyök(2)-ször rövidebbek. Éppen van egy olyan szakaszunk, ami az eredeti háromszög alapjánál 1/gyök(2)-ször rövidebb.

Melyik az?

És innen már menne a szerkesztés?

Az 1-es gondolatmenete is jó, viszont a szerkesztéseknél „csalásnak” szokták tartani a mérést/előreszámolást (vagyis hogy a minek a részét hogyan szerkesztjük meg), és azt szokták „szép” megoldásnak tartani, ami tisztán szerkesztéseket tartalmaz.

Ez a feladat megoldható elegánsabban is; húzzuk be az egyenlő szárú derékszögű háromszög alaphoz tartozó magasságát, ami két egybevágó derékszögű háromszögre bontja az eredetit. Ezeknek a háromszögeknek a területe így pont feleakkora, mint az eredetinek.

Szerencsénkre ezek pont ugyanolyan egyenlő szárú derékszögű háromszögek, mint az eredeti, tehát az egyiket „be tudjuk forgatni” derékszögű csúcsával az eredetibe, így megkapva a keresett szakaszt.

Röviden: csak annyi a dolgunk, hogy az alaphoz tartozó magasság hosszát felmérjük a háromszög száraira a derékszögű csúcsból, és azok végpontját összekötjük.