Határozzuk meg azoknak a négyjegyű számoknak az összegét, melyek hárommal osztva 2 maradékot adnak! Itt az sn-t kéne kiszámolni?

Igen; a 3-mal osztva 2 maradékot adó számok számtani sorozatot alkotnak. Ezek összege kell, vagyis az

S(n) = ( a(1) + a(n) ) * n / 2

képletet lehet használni. Itt kell az első tag, az utolsó tag, és hogy hány tag van.

Az első ilyen négyjegyű szám: 1001, ha ehhez utána 3-at akárhányszor hozzáadsz, mindig 2 lesz a maradék, hiszen:

(3k+2)+n*3 = 3k+3n+2 = 3(k+n)+2. Ez csak ilyen mellékes bizonyítás.

Tehát az első tag: a1=1001

Az utolsó tag próbálgatással: 9998

Ki kellene még találni, hogy hány tag van a kettő között. Fogalmam sincs, de talán fel lehet rá írni valamit. Használjuk a számtani sorozat n. tagjára vonatkozó képletet!

an=a1+(n-1)*d

9998=1001+(n-1)*3

Rendezzük:

9998=1001+3n-3

9998=998+3n

9000=3n

3000=n

Ellenőrzés:

1001+(3000-1)*3=9998, pipa.

Jöhet az összeg képlet, amit felül is írtak:

Sn=(a1+an)/2*n

S3000=(1001+9998)/2*3000=16498500

Fogalmam sincs, hogy elszámoltam-e valamit. A lényeg, hogy ötletadónak jó ;)

Pedig egyszerűbb, mint hinnéd;

a számtani sorozat összegképlete:

S(n) = ( a(1) + a(n) ) * n /2

Ahhoz, hogy ezt az összegképletet tudjuk használni, szükségünk van;

-a sorozat első tagjára, vagyis a(1)-re

-a sorozat n-edik (utolsó) tagjára, vagyis a(n)-re

-valamint hogy a sorozatnak hány tagja van, vagyis n-re.

A feladat jellegéből az első és az utolsó tag meghatározható, ahogyan tettük is; az első tag az 1001, az utolsó 9998. Ennek megfelelően erre az összegre vagyunk kíváncsiak;

1001 + 1004 + 1007 + ... + 9992 + 9995 +9998

Ez az összeg n tagú, már csak az n-et kellene meghatározni.

Azt érdemes észrevenni (mivelhogy mindegyik szám 3-as maradéka 2), hogy mindegyik szám felírható 3*valami+2 alakban;

1001 = 333*3 + 2

1004 = 334*3 + 2

1007 = 335*3 + 2

.

.

.

9992 = 3330*3 + 2

9995 = 3331*3 + 2

9998 = 3332*3 + 2

Láthatóan ha a 3*valami+2 alakban a "valami"-t 1-gyel növeljük, úgy kapjuk a következő tagot. Így már csak az a kérdés, hogy a 333-ról indulva (és azt is beleértve) a 3332-ig hány egész számot érintünk. Erre adná magát a 3332-333=2999, azonban ehhez még hozzá kell adni 1-et, tehát a fenti sorozatnak 3000 tagja van.

Hogy miért kell egyet hozzáadni; egyrészt ha vesszük az 1 és a 2 számokat, és ugyanazt megkérdeznénk, akkor a kivonás eredményeként 2-1=1 számot kapnánk, pedig az 1;2 pontosan 2 szám, tehát önmagában a kivonás nem működhet, még valamit kell csinálni (mondjuk hozzáadni 1-et). Én jobb szoktam szeretni ezt a megközelítést;

Azt tudjuk, hogy 1-től számolva akármelyik pozitív egész számig mindig pont annyi szám van, mint a kiválaszztott szám. Például 1-től 100-ig pontosan 100 szám van (1. szám: 1, 2. szám: 2, ..., 100. szám: 100), de ez csak az 1-től kezdve igaz. Viszont ezt felhasznál meg tudjuk állapítani, hogy bármelyik két egész szám között hány egész van;

1-től 3332-ig 3332 darab egész szám van.

1-től 332-ig 332 darab egész szám van.

Nyilvánvalóan 333-tól 332-ig a két szám különbsége, vagys 3332-332=3000 szám van.

Tehát a feladatban n=3000, a megoldóképletbe pedig így már csak be kell helyettesíteni.