Háromszög feladat??

Geometriai jellegű bizonyítást nem tudok.

Legyen a kérdéses pont P, ez a három csúcstól legyen a;b;c távolságra, tehát az a kérdés, hogy mikor lesz az a^2+b^2+c^2 összeg minimális.

Azt tudjuk, hogy a számtani-mértani közepek összefüggése szerint az átlag mindig legalább akkora, mint a mértani közép, például az 1;3;9 számok átlaga (1+3+9)/3=13/3, a mértani közepük köbgyök(1*3*9)=3, ami kisebb, mint 13/3. Esetünkben az összeget át tudjuk alakítani így:

3*(a^2+b^2+c^2)/3, ennek az értéke a fentiek fényében legalább 3*köbgyök(a^2+b^2+c^2).

A tétel azt is kimondja, hogy a két közép között lehet egyenlőség, viszont csak abban az esetben, hogyha a számok egyenlőek. Például a 3;3;3 számsor számtani közepe és mértani közepe egyaránt 3, vagyis 3=3, és ez csak ebben az egy esetben lehet, vagyis ha a számokat úgy változtatjuk, hogy összegük 9 maradjon (és mindegyik nemnegatív), akkor az átlag 3 marad, a mértani közép pedig mindig 3-nál kisebb lesz.

Tehát a kérdés az, hogy az a;b;c számok lehetnek-e azonosak. Erre megadtad a választ, a válasz az, hogy a háromszög köré írt körének sugarát kell venni, tehát a minimális összeg 3*R^2 lesz.

A súlypontra.

Legyen P tetszőleges pont!

Indíts helyvektorokat a súlypontbol a csúcsokba es P-be!

Írd fel a keresett negyzetosszeget felhasználva,hogy a vektor

skalaris negyzete egyenlő a hosszának negyzetevel.

S

Az is kell, hogy a súlypontbol a csúcsokba mutató vektorok összege nullvektor.