Hogyan igazoljuk indirekt úton, hogy a szabályos háromszög beírható és köré írható köreinek középpontjai egybeesnek?

Indirekt feltesszük, hogy az állítás hamis, vagyis két külön pontba esnek.

Azt biztosan tudjuk, hogy minden háromszögnek -így a szabályosnak is- pontosan 1 be-, és pontosan 1 köréírható köre van. Ezenfelül a beírható kör középpontja biztosan a háromszög területén van.

Szerkesszük meg a köréírható kör középpontját, ez ugye az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, amik egyben szimmetriatengelyek is.

Jelöljük ki a háromszög egy tetszőleges -nem a tengelyekre eső- pontját, mint a beírható kör lehetséges középpontját. Ha ez megvan, tükrözzük valamelyik szimmetriatengelyre a háromszöget a ponttal együtt. A háromszög ugyanaz marad, a pont viszont átkerült, ez viszont ellentmond annak, hogy pontosan egy beírható köre lenne a háromszögnek.

Marad az, hogy a keresett pont valamelyik tengelyen van. Ha arra a tengely tükrözünk, amelyiken a pont is van, akkor a pont tükörképe önmaga lesz, azonban egy másik tengelyre tükrözve újra átkerül, tehát csak az egyik tengelyen nem lehet a kör középpontja.

Mivel a háromszög belső pontjai közül a köréírható kör középpontját leszámítva az összes pontra beláttuk, hogy azok nem lehetnek a beírható kör középpontjai, így az indirekt állítás nem lehet igaz, tehát az eredeti lesz az igaz.

A külső kör középpontja a háromszög oldalainak felezőmerőlegesén van rajta. A belső kör középpontja a szögek szögfelelzőin.

A szabályos háromszögnél a szögfelező egyben a szemben levő oldal felezőmerőlegese is, mert a háromszöget két egybevágó félre osztja.

Mindkét középpont ugyanannak a 3 egyenesnek a közös pontja, vagyis ugyanott van.

3-as, eléggé triviális bebizonyítani direkt módon, ahogyan tetted is 5 sorban. Viszont a kérdező indirekt bizonyítást kért, vagyis úgy kell bizonyítani, hogy minden más esetet kizárunk.

Például indirekt módon szokás azt is bizonyítani, hogy végtelen sok prímszám van. Lévén a prímszámok elhelyezkedése „szabálytalan” (nem ismert a szabálya), ezért nehéz is lenne direkt bizonyítani.