Milyen arányban osztja a háromszög beírt körének középpontja a szögfelezőket?

Legyen a háromszög három oldala a;b;c, ahol a<=b<=c, majd húzzuk be azt a szögfelezőt, amelyik a c oldalt metszi. Legyen a kisebbik szakasz k, ekkor a másik x-k hosszú. A szögfeleőtétel szerint ezt tudjuk felírni:

a/b = k/(c-k), ezt rendezzük k-ra, ehhez szorozzunk a nevezőkkel:

a*(c-k) = b*k, kibontjuk a zárójelet:

a*c-a*k = b*k, hozzáadunk (a*k)-t:

a*c = a*k+b*k, kiemelünk k-t:

a*c = k*(a+b), végül osztunk (a+b)-vel:

a*c/(a+b) = k

Amikor behúzzuk a szögfelezőt, akkor két kisebb háromszög keletkezik. Most azt számoltuk ki, hogy a kisebbik kisebb háromszögnek két oldala a és a*c/(a+b), harmadik oldala a szögfelező. Ha most behúzzuk a b oldalt metsző szögfelezőt, akkor a kisebbik kisebb háromszögnek is behúzzuk a szögfelezőjét, így újra fel tudjuk írni a szögfelelőtételt;

x/y = a / (a*c/(a+b)), vagyis

x/y = (a+b)/c, vagy fordítva felírva:

y/x = c/(a+b)

Tehát a c oldalba futó szögfelező a c oldal és a másik két oldal összegének arányában oszódik fel a beírható kör középpontja által.

Ugyanez, mivel mindegy, hogy melyik oldalt minek nevezed.

Egyébként csak azt kell megértened, amit írtam; adott oldalba futó szögfelezőt a másik két szögfelező a két oldal összegének és az adott oldalnak az arányában osztja, vagyis

a c oldalba futó (a+b):c (vagy fordítva felírva)

a b oldal esetén (a+c):b (vagy fordítva felírva)

az a oldal esetén (b+c):a (vagy fordítva felírva)

Az arány azt nem mondja meg, hogy az osztópont a csúcshoz vagy az oldalhoz van-e közelebb, az a fenti levezetésből derül ki; az oldalhoz, így a csúcstól távolabb esik.