Hogyan oldanátok meg a 22-es feladatot?

Addig eljutottam, hogy ha az O-n keresztül párhuzamost húzol a BC-vel, akkor az oldalakat a felezőpontjukban metszi (hasonlóság miatt), tehát be tudjuk húzni a súlyvonalakat, így a súlypontot is.

A súlypontról tudjuk, hogy a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja a csúcsoktól mérve. Most azt kellene valahogy belátni, hogy a DS szakasz párhuzamos az AB oldallal, ekkor újra a hasonlóságra hivatkozva igaz lesz az, hogy AD:DC=FS:SC=1:2.

Azt hiszem, hogy megvan, de eléggé érdekesen jön ki;

Húzzunk párhuzamost az AC-vel M-en keresztül, és ahol ez metszi a BD szakaszt, nevezzük el K-nak. Ha jobban megnézzük most az ábrát, akkor az ADO és MKO háromszögek egybevágóak; az oldalaik páronként párhuzamosak (vagy egy egyenesre esnek), és mivel |AO|=|OM|, ezért |DO|=|DK| és |AD|=|MK|, ez utóbbi hosszt nevezzük el x-nek.

Most nézzük a KBM és DBC háromszögeket. A párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele miatt ezek a háromszögek hasonlóak, a hasonlóság arányát is könnyű megadni; mivel a BM fele akkora, mint a BC, ezért a hasonlóság aránya 2, így a DC oldal kétszer akkora, mint a KM, vagyis 2x hosszú.

Mivel AC=AD+DC, emiatt |AC|=x+2x=3x, és mivel x=|AD|, ezért |AC|=3*|AD|, és ezt kellett belátni.

A 3-as válaszomnál az volt az alapötlet, hogy az arány pont ugyanaz, ahogy a súlypont metszi a súlyvonalakat. Talán abból is kijön valahogy, de én azzal zsákutcába futottam.

Vagy: TM||BD és T az AC pontja.

Ekkor

TM a BDC háromszög középvonala,így DT=TC;

OD a TMA háromszög középvonala, így AD=DT.