Segítségre lenne szükségem egy fizika feladatban (9. osztály)!?

#8

"Arra alapoztam, hogy akárhogyan választjuk meg a lépéshosszt, a csigák egy szabályos sokszög oldalain mozgolódnak, és ha a lépéshossz->0, akkor n->végtelen, így a sokszög körívvé simul."

Szerintem ez nem elég. Ebből csak annyi következik, hogy valamilyen sima görbe lesz. Bézier, ahogy írtad, vagy valamilyen más "spirálkarok". Attól függően, hogy a kisebbedő háromszög "zsugorodása" és forgása hogyan viszonyul egymáshoz.

Próbáltam hasonlósággal bizonyítani, hogy a pálya kör lesz, de az jött ki, hogy nem. Vegyünk egy feleakkora háromszöget, mint az eredeti. Forgassuk el a középpont körül, úgy, hogy a csúcsai a nagyháromszög köríveire kerüljenek. Rajzoljuk be az érintőkörívjét. Ha ez egybevág a nagy körívvel, akkor a csigák továbbra is ugyanazon a körpályán mennek.

De sajnos nem vág egybe. A hasonlóság miatt a körív húrhoz mért magassága fele lesz, mint a nagy körívnél. Márpedig a körben a feleakkora hurhoz nem feleakkora magasság tartozik. Ezért a két körív nem fedi egymást. A csigák nem követik az eredeti körpályát.

Rákerestem a neten a megoldásra. Túlbonyolítottuk a feladatot. Rossz irányban indultonk el. Nem kell a pálya meghatározásával foglalkozni.

Egy csiga sebességét minden pillanatban fel lehet bontani a középpont felé mutató és arra merőleges komponensre. A középpont felé 0,5*sqrt(3)/2 cm/s mutat. A megteendő út 60/sgrt(3) cm. Az idő 240s.

#15

A szabályos háromszögben a súlyvonal hossza a Pitagorasz tétel szerint

sqrt(a^2-a^2/4)=a*sqrt(3)/2.

A súlypont a csúcstól mért 2/3-nál van.

(a*sqrt(3)/2)*2/3=a*sqrt(3)/3=a/sqrt(3)

#15

"...a bejárt út hosszabb 20*gyök(3) centiméternél."

Természetesen hosszabb. De nem foglalkozunk a bejárt úttal, csak azzal, hogy időegység alatt mennyit közeledik a csiga a középponthoz. Ezért csak a középpont felé mutató sebességkomponenst vesszük figyelembe. Ami nem 0,5 cm/s, hanem csak 0,5*sqrt(3)/2 cm/s. A csiga nem teljes sebességével, hanem annak csak egy részével közelít a középpont felé.

Egyébként az idő (240s) ismeretében már kiszámítható a teljes bejárt út hossza: 120 cm.

Azért én tennék egy kísérletet a pálya hosszának direkt kiszámítására;

Mozduljon el a csiga k cm-nyit, ahol 0<k<0,5 (csak hogy ne lehessen túl nagy az elmozdulás). Ebben az esetben a már korábban említett koszinusztétellel ki tudjuk számolni a harmadik oldal hosszát (s):

s = gyök[k^2+60^2-2*k*60*cos(60°)] = gyök[k^2-60k+3600]

Tudjuk, hogy s egy szabályos háromszög egy oldala, szabályos háromszögek pedig mindig hasonlóak egymáshoz, így kiszámolható a hasonlóság aránya (λ):

λ = s/60 = gyök[k^2-60k+3600]/60

Ennél a résznél stratégiát változtatunk; a csigák nem k-val mozdulnak el, hanem annyival, hogy a most keletkezett és az ez után keletkező szabályos háromszög hasonlósági aránya megmaradjon, ehhez szerencsére pont k*λ-val kell elmozdulnia a másik csiga jelenlegi pozíciójának irányába. Ezután k*λ^2-tel, majd k*λ^3-bel, és így tovább a végtelenségig.

Ezen szakaszok összege adja a csiga által bejárt útvonalak hosszát, vagyis

k + k*λ + k*λ^2 + k*λ^3 + ...

Ez egy mértani sorozat, amit tudunk összegezni, de én most egy kicsit csalok, és a WolframAlphával számoltatom ki;

[link]

Szóval az összeg k-tól függően -60k/(gyök[k^2-60k+3600]-60) alakban adható meg. De nekünk az kell, amikor k->0, tehát egy határértéket kell számolnunk;

lim -60k/(gyök[k^2-60k+3600]-60) =

k->0

[link]

Szóval valóban 120 cm lesz a megtett út. És ezzel az is bebizonyosodott, hogy nem egy köríven mozognak a csigák.

A 13-asban elrontottam az osztást.

"Egy csiga sebességét minden pillanatban fel lehet bontani a középpont felé mutató és arra merőleges komponensre. A középpont felé 0,5*sqrt(3)/2 cm/s mutat. A megteendő út 60/sgrt(3) cm. Az idő 240s."

Megzavart ez /-es törtfelírás.

t=s_közép / v_közép=(60/sgrt(3))/(0,5*sqrt(3)/2)=

=(60*2) / (sgrt(3)*0,5*sqrt(3))=(60*2*2) / (sgrt(3)*sqrt(3))=240 / 3=80s

A 80 másodperc alatt a csiga a kanyarodó úton 40cm-t tesz meg.