Van két különböző szám. Az egyik elé egy 100-ast, a másik végére 1-est írunk. Így az első szám 37-szer lett nagyobb a másik számnál. Milyen számok voltak eredetileg?

Legyen a két szám x és y. Az x elé írjuk a 100-at, az y elé az 1-et, ekkor az eredmény így írható fel:

-ha az x-nek k számjegye van, akkor x+10^(k+2).

-az y-ból 10y+1 lesz.

A feladat szerint az első a másodiknak a 37-szerese, vagyis

x+10^(k+2) = 37*(10y+1), kibontjuk a jobb oldal zárójelét:

x+10^(k+2) = 370y+37, rendezzük x-re az egyenletet:

x = 370y+37 - 10^(k+2)

Az x értéke k értékétől függ, ahogyan az előbb definiáltuk; például ha x=25, akkor k=2, mivel a 25-nek két számjegye van. Ez azt jelenti, hogy x-ről biztosan elmondható, hogy értéke legalább 10^(k-1) és 10^k-nál kisebb (illetve az x=0 egy külön vizsgálandó eset), nyilván az x-szel egyenlő kifejezésre is igaz ugyanez, tehát

10^(k-1) <= 370y + 37 - 10^(k+2) < 10^k, az egyenlőtlenséget rendezzük y-ra;

(10^(k-1) + 10^(k+2) - 37)/370 <= y < (10^k + 10^(k+2) - 37)/370

Innen már csak azt kell megnéznünk, hogy k=0;1;2;... számokra y értékei mik lehetnek, és azokból visszafejthető x értéke is.

Ha pedig x=0, akkor az ebből kapott szám az 1000, tehát ezt kell megoldanunk;

1000=37*(10y+1), ennek pedig nem egész a megoldása.

Lehet, hogy van szebb megoldás is, hirtelen ez jutott eszembe.

Hát ez elég kevés. Még akkor is, ha "szám" alatt természetes számot értünk. De azért lássunk neki!

Van két különböző szám. => x, y

- Az egyik elé egy 100-ast => 100*10ⁿ+x, ahol x<10ⁿ

- a másik végére 1-est írunk. => 10*y+1

- Így az első szám 37-szer lett nagyobb a másik számnál => 100*10ⁿ+x = 37*(10*y+1).

100*10ⁿ+(x-37) = 370*y

Eddig ugyanaz, mint 2-es. Bár tőle függetlenül írtam le magamnak.

Szóval 100*10ⁿ+valami osztható 370-nel, és ez a valami kisebb 10ⁿ+37-nél. Próbálgassuk 100*10ⁿ 370-es maradékát, n-el felfele haladva.

1000 nem jó.

10027=37*(27*10+1)

Lehet, hogy van más megoldás is.

Mondjuk úgy, hogy használod a levezetésemet... mivel a 307 háromjegyű, ezért k=3, így

(10^(3-1) + 10^(3+2) - 37)/370 <= y < (10^3 + 10^(3+2) - 37)/370

Ennek két egész megoldása y=271 és 272. Ezt visszahelyettesíted az x-re rendezett egyenletben;

x = 370*271 + 37 - 10^(3+2) = 307

x = 370*272 + 37 - 10^(3+2) = 677

Máris találtunk két megoldást is. Sőt, elmondható, hogy a feladanak háromjegyű megoldásai csak ez a két szám.

Általánosan úgy lehet megadni a megoldási mechanizmust:

- legyen n =1,2,...

- y=[100*10ⁿ/370]+k, ahol [] az egészrészt jelöli és k=1,2,...

- x=37*(10*y+1)-100*10ⁿ, amíg x>100*10ⁿ

Javítás:

- x=37*(10*y+1)-100*10ⁿ, 10^(n-1)>x>10ⁿ

n=1, y=3, x=147>10 nem jó

n=2, y=28, x=397>100 nem jó

n=3, y=271, x=307; y=272, x=677; y=273, x=1047>1000 nem jó

n=4, y=2706, x=1257; y=2707, x=1627; y=2708, x=1997;...stb