Tudnátok segíteni a vektorokban? Nem igazán értettem meg az előadáson pár dolgot!

Ha tényleg csak ennyi a feladat, akkor tényleg csak annyi, ami a 4-es válaszban látható, vagyis az összes keresett vektor felírható K*b+L*c alakban (a nagybetűk skalárokat, vagyis konkrét számokat jelentenek).

Ha viszont az is kérdés, hogy az a vektor beleesik-e ebbe a síkba, és hogy azt hogyan lehet megmutatni, az már egy kicsit nehezebb feladat;

Amikor adottak a vektorok egy vektortéren, akkor a vektorok összege is a vektortéren belül marad. Előfordulhat viszont, hogy a vektortérben elhelyezett vektorok nem "feszítik ki" a vektorteret, hanem csak a vektornak egy alterét. Például ha R^3 vektortérben adott lenne az (1;0;0), a (2;0;0) és a (3;0;0) vektorok, akkor ezek a három vektor az R^3 vektorteret nem feszítik ki, csak egy R^1 vektorteret, ami nem mellesleg egy egyenes.

A vektorokat úgy érdemes felfogni, mint utasításokat. A kérdés az, hogy a koordinátarendszer bármely pontjába el lehet-e jutni csak az adott vektorokat (illetve azok skaláris szorzatait) használva. Ha igen, akkor a vektorok lefedik a vektorteret (más szóval: generálják a vektorteret, megint más szóval a vektorok a vektortér bázisát teszik ki), ha nem, akkor egy alteret határoznak meg. Maradva a példánál, az origóból a (0,0,1) pontba nem tudsz lépni, még ha vért is izzadsz, mert nincs meg hozzá a megfelelő utasítás.

Ezért van az, hogy ha bármelyik vektor összerakható a többi vektor felhasználásával, akkor az a vektor függ a többi vektortól, tehát jelenléte semmi extrát nem ad a dolgokhoz.

Általánosan, ha az {u;v;w} nem nullvektorokból álló vektorhalmaz elemeire igaz, hogy konstans (skalár) A;B számok esetén (ezeket amúgy lambdákkal szokták jelölni) az

u = A*v + B*w

vektoregyenletnek nincs megoldása, akkor a vektorok függetlenek egymástól (tehát lefedik az R^3 vektorteret), ha van, akkor függnek egymástól (tehát kivehető a halmazból, így nem fedik le R^3-at). Persze még általánosabban, nagyobb dimenziószámra is működik a fenti a megállapítás, csak több vektorral a jobb oldalon.

Bizonyos esetekben ránézésre megmondható a jó lineáris kombináció. Általában viszont nem ennyire egyszerű, úgyhogy az előbb említett egyenletet meg kell oldani. A szereposztás tetszőleges, bármelyik vektor kerülhet a bal oldalra, azonban a feladat most konkrétan az, hogy az a vektor benne van-e a "bc" vektor síkjában, ebben az esetben et írhatjuk fel:

a = A*b + B*c, az a kérdés, hogy ennek van-e A;B-re megoldása. Írjuk be a vektorok helyére azt, amiket megadtak:

(1;2;-3) = A*(2;3;-1) + B*(3;3;1), elvégezzük a beszorzásokat:

(1;2;-3) = (2A;3A;-A) + (3B;3B;B), elvégezzük az összeadásokat:

(1;2;-3) = (2A+3B ; 3A+3B ; -A+B)

Két vektor csak úgy tud egyenlő lenni, hogyha a koordinátáik páronként megyeznek, vagyis

1 = 2A+3B

2 = 3A+3B

-3 = -A+B

Ezteknek egyszerre kell teljesülniük, tehát egyenletrendszer alkotnak. Szerencsére az első két egyenlet különbsége esetén kiesik B, így marad 1=A, a harmadik egyenletből pedig -2=B, tehát a skalárok lehetséges értékeit megkaptuk, már csak ellenőrizni kell;

2*1 + 3*(-2) = -4, ami nem 1, tehát az egyenletrendszernek nincs megldása. Ennek megfelelően az eredetinek sincs, vagyis a három vektor lineárisan független egymástól, így kifeszítik az R^3 vektorteret.

#5

"Ha viszont az is kérdés, hogy az a vektor beleesik-e ebbe a síkba, és hogy azt hogyan lehet megmutatni, az már egy kicsit nehezebb feladat;"

A síkban levő két vektor vektoriális szorzata megadja a sík normálvektorát. (Feltéve hogy a két vektor nem párhuzamos, mert akkor a vektoriális szorzatuk hossza 0 és az irány határozatlan.)

A síkba azok a vektorok tartoznak, amiknek a skaláris szorzata a normálvektorral 0. És ez a két vektor minden lineáris kombinációjára teljesül.