Hogyan vezessem le 7. osztályban azt, hogy bármely olyan x és y nullától különböző egész számok esetén amelyekre 4x^2+9xy+5y^2=0, a (2x+3y)/(3x+4y) tört természetes szám?

Olyan lépéseket írok, amik megérthetőek 7.-es tudással, de hogy magadtól erre nem jönnél rá (megfelelő rutin hiányában), az is biztos.

Először is, alakítsuk így át az egyenletet:

4x^2 + 4xy + 5xy + 5y^2 = 0, itt annyi történt, hogy a 9xy-t felírtam egy összegben.

Ez azért jó így, mert ki tudunk emelni az első két tagból 4x-et, a második kettőből 5y-t, ekkor:

4x*(x+y) + 5y*(x+y) = 0

Itt pedig észrevehetjük, hogy ki tudunk emelni (x+y)-t:

(x+y)*(4x+5y) = 0

Egy szorzat csak úgy tud 0 lenni, hogyha valamelyik tényező 0, így vagy x+y=0, vagy 4x+5y=0. Nézzük meg, hogy ezek érvényesülése esetén mi történik;

-Ha x+y=0, akkor a törtet át tudjuk így alakítani:

(2*(x+y) + y) / (3*(x+y) + y)

A belső zárójeleken belül az érték 0, így marad y/y, ami 1. Tehát ha x+y=0, akkor a tört értéke mindig 1.

-Ha 4x+5y=0, akkor bővítsük a törtet 4-gyel (ezzel a tört értéke nem változik):

(8x+12y) / (12x+16y)

Ekkor a törtet át tudjuk így alakítani:

(2*(4x+5y) + 2y) / (3*(4x+5y) + y)

Itt is a belső zárójeleken belül 0-k vannak, így marad 2y/y, ami mindig 2.

Tehát ha 4x+5y=0, akkor a tört értéke mindig 2.

Más esetben az egyenlet nem teljesül, tehát minden lehetőséget végignéztünk.

"(2x+3y)/(3x+4y) tört természetes szám"

Ez akkor teljesül a legegyszerűbben, ha 3x+4y=1. 3x=1-4y. (Később ezt kibővítjük.)

4x^2+9xy+5y^2=0 //szorozzuk meg 9-cel.

36x^2+81xy+45y^2=0 //helyettesítsük be 3x-et

4*(1-4y)+27*y*(1-4y)+45y^2=0 //megoldjuk a másodfokú egyenletet

y=1 x=-1

y=4 x=-5

A megoldások egészszámú többszörösei is megoldások lesznek.

Pl. ha y=z x=-z, mindkét feltétel teljesül és a 3x+4y=1 kiindulási pontunk 3x+4y=z formában általánossá válik.