Igaz-e, hogy az alábbi 16 ismeretlenes egyenletrendszernek nincs megoldása?

Legyen

(x1, y1), (x2, y2) (x3, y3), (x4, y4)

(p1, q1), (p2, q2), (p3, q3), (p4, q4)

8 ismeretlen vektor az euklideszi síkon. Az egyenletek egyrészt azt fejezik ki, hogy ezek egyike sem lehet nullvektor, mert bármelyik vektorhoz van olyan másik, amellyel vett belső szorzata 1. Másrészt azt fejezik ki, hogy bármelyik (x,y)-os vektorhoz van 3 db (p,q)-s vektor amelyekkel vett belső szorzata 0, vagyis rá merőlegesek.

Innen már egyszerű továbbgondolással, ki lehet hozni az ellentmondást...

Továbbgondolva:

Legyen i, j különböző indexek. Ha (xi, yi) és (xj, yj) vektorok lineárisan függetlenek lennének, akkor van k index, hogy (pk, qk) vektor egyszerre merőleges (xi, yi)-re és (xj, yj)-re. Ez csak a nullvektor lehet. Ez ellentmondás lenne. Kapjuk tehát, hogy az (x, y)-os vektorok valamely nemnulla vektor skalárszorosaiként állnak elő. Ekkor a (p, q)-s vektorok mindegyike a merőlegesség miatt szintén valamelyik nemnulla vektor skalárszorosaként áll elő. De ennek ellentmond, hogy bármely i indexre <(xi, yi), (pi, qi)>=1.