Hányféleképpen lehet 10 kártyából a.) 3 lapot kiosztani b.) 7 lapot kiosztani?

(10 alatt 3)=(10 alatt 7)=10!/(3!*7!)=

=(10*9*8)/(3*2*1)=5*3*8=120

Vegyünk egy kisebb példát; hányféleképpen tudsz 4 lapból 3-at kiosztani? Legyen a 4 lap A, B, C és D.

Ha számít a sorrend, akkor a megoldások:

ABC, ACB, ABD, ADB, ACD, ADB

BAC, BCA, BAD, BDA, BCD, BDC

CAB, CBA, CAD, CDA, CBD, CDB

DAB, DBA, DAC, DCA, DBC, DCB, tehát 24 lehetőség van rá.

Most legyen az a kérdés, hogy a lehetőségek száma mennyi, hogyha a sorrend nem számít, ehhez alakítsunk ki "csoportokat" aszerint, hogy azonos lapokat tartalmazzanak a lehetőségek:

1. csoport: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

2. csoport: ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA

3. csoport: ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA

4. csoport: BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB

Más lehetőség nincs. Tehát 4 csoportra tudtuk bontani a lehetőségeket.

Amikor számított a sorrend, akkor 4*3*2*1=24-féle lehetőség volt. Ha nem számt a sorrend, akkor azt láthatjuk, hogy 6-6 olyan lehetőség van, amely ugyanaz a betűket tartalmazza, ezért a 24-et 6-tal kell osztani. A 6 egyébként úgy jön ki, hogy 3*2*1, ami 3!-sal egyezik meg.

Ugyanezen analógia alapján kell az eredeti feladatban a 3 lapot tartalmazó esetek számát 3!=6-tal, a 7 lapot tartalmazó esetek számát 7!=5040-nel osztani.

Ha jól értem, akkor az ismétlés nélküli variáció képletével akartál eredetileg számolni, ami n!/(n-k)!, ahol n a "variálandók" száma, k pedig a helyek száma, ahová le lehet tenni az elemeket. Esetünkben n=10, mivel 10 lap van, és k=3, hogy 3 lapot akarunk kiosztani, k=7, hogyha 7-et. Ennek megfelelően:

3 lapos eset: 10!/(10-3)! = 10!/7! = 3628800/5040 = 720.

Ha azonban definíció szerint felírnád a faktoriálisokat:

(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(7*6*5*4*3*2*1), akkor látható, hogy mivel lehet egyszerűsíteni, és marad 10*9*8, amivel eredetileg is számoltunk.

7 lapos eset: 10!/(10-7)! = 10!/3! = 3628800/6 = 604800. Ha viszont az egyszerűsítést megcsináljuk, akkor ugyanúgy megkapjuk a 10*9*8*7*6*5*4 szorzatot.

Fontos megjegyezni, hogy ez csak ISMÉTLÉS NÉLKÜLI VARIÁCIÓ esetén működik, vagyis amikor az elemek különbözőek és a sorrendiség számít. Ha a sorrend nem számít, akkor az már ISMÉTLÉS NÉLKÜLI KOMBINÁCIÓ, és arra ez a képlet:

n!/(k!*(n-k)!), ahol n az elemek száma, k pedig a helyek száma. Természetesen n>=k esetén működik csak a képlet. Ha esetleg a feladatban mégis fordítva lenne (például 4 lapból hányféleképpen lehet 6 lapot kiosztani, tehát n=4 és k=6), akkor azt 0-nak tekintjük.

Maga a képlet úgy is bizonyítható, ahogyan számoltunk; ha számít a sorrend, akkor n!/(n-k)!, ha nem számít, akkor k!-sal osztani kell, így n!/(n-k)! : k! = n!/(k!*(n-k)!) eredményt kapjuk.