Adott 3 térbeli vektor(a,b,c) által meghatározott paralelepipedon. Ebbe a paralelepipedonba hányszot fér bele az a,b,c vektorok által meghatározott tetraéder, 4 vagy 6?

Négyszer. Ha egy olyan koordinátarendszert veszünk, aminek az egységvektorai az a, b, c vektorok, akkor ebben a paralelepipedon egy kocka lesz, a tetraéder meg olyan, aminek három egyenlő éle van, a másik három éle meg √2-szörös. Egy tetraédernek három éle a kocka három élére fog ráfeküdni, a másik három éle egy-egy lapátlóra. A kockának 12 éle van, egy-egy tetraéder ebből 3-3 élre fekszik rá, így 12/3=4 ilyen tetraéder van. Illetve a tetraéder √2 egységnyi oldalai egy-egy lapátlóra fekszenek rá, de itt két tetraéder találkozik. A kockának 6 oldal van, így 6 lapátlója, egy-egy tetraéder ebből 3-3-ra fekszik rá. De mivel egy lapátlón két tetraéder találkozik itt is az jön ki, hogy 2*6/3=4 tetraéder van.

Területszámításból is ki lehetne indulni, csak a tetraéder, mint háromszög alapú gúlának a területét pont a fentiből lehet egyszerűen levezetni.

"Összevetve a paralelepipedon térfogatképletével kapjuk, hogy a tetraéder térfogata hatoda annak a paralelepipedon térfogatának, amit ugyanaz a három él feszít ki."

[link]

Még egy link:

[link]