Határozzuk meg λ értékét, ha tudjuk, hogy a λa+b+c, a+λb+c és a+b+λc vektorok egysíkúak?

[link]

Innen látható, hogy lambda 1 vagy -2 lehet.

Hát ...

Úgy gondolom, hogy a kiemelés után a zárójelben a három vektor vegyes szorzata maradt. Ez alapján gondolom úgy, hogy a vektorialis es a skalaris szorzat tulajdonságait alkalmazva lehet erre az eredményre jutni.

Ha lesz időm, akkor elgondolkodom majd rajta.

(a+kb+c)×(a+b+kc)=

=(a×b)+k(a×c)-k(a×b)+k^2(b×c)-

-(a×c)-(b×c)=

=-(k-1)(a×b)+(k-1)(a×c)+

+(k^2-1)(b×c)=

=(k-1)(-(a×b)+(a×c)+(k+1)(b×c))

Ha ezt szorzod skalarisan a

(ka+b+c)-vel:

(k-1)(k(k+1)abc-abc-abc)=

=(k-1)(k^2+k-2)abc=

=(k-1)(k^2-k+2k-2)abc=

=(k-1)(k(k-1)+2(k-1))abc=

=(k-1)^2(k+2)abc

Egy másik megoldás: nyilván a feladat csak akkor értelmes ha a,b,c függetlenek, hiszen ha függők, akkor bármilyen λ jó. Legyenek a,b,c függetlenek, és legyenek ők a bázis.

Ekkor a három vektor koordinátái

: (λ,1,1), (1,λ,1) és (1,1,λ),

amik függését eldönti a belőlük alkotott mátrix determinánsa, amit tetszőleges módon megoldunk.

#5: "amik függését eldönti a belőlük alkotott mátrix determinánsa, amit tetszőleges módon megoldunk."

Például azt mondjuk, hogy az

: x+1 1 1

: 1 x+1 1

: 1 1 x+1

mátrix determinánsa a csupa -1-ből álló mátrix leképezésének a karakterisztikus polinomja. Az minden vektort az (1, 1, 1) által feszített egyenesre küld, pontosan 2 sajátértéke van, a 0 és a -3.

Így a determináns 0, ha x = 0 vagy -3, vagyis λ = 1, -2.