Hogyan kell megoldani ezeket? (Egyenlőtlenség abszolút értékkel)

1)

Ha x>=-1, akkor x+1<3x-1 ...

Ha x<-1, akkor -x-1<3x-1 ...

2)

Az 1) megoldashalmazanak komplementere.

Úgy látod, hogy simán leszedtem az abszolút érték jelét?

Akkor nézd meg jobban!

Kezdjük az elején; mit jelent egy szám abszolutértéke?

Gyakorlatilag azt jelenti, hogy hány egység távolságra van a 0 számtól a számegyenesen. Az 1 szám 1 egység távolságra van a 0-tól, és ezt így jelöljük: |1|, aminek értéke 1. A 19 szám |19| távolságra van a 0-tól, egyébként pedig tudjuk, hogy 19 egységre van, tehát |19|=19

Általánosságban azt mondhatjuk, hogy a pozitív számok alapvetően megmutatják, hogy maguk milyen távolságra vannak a 0-tól. Ha az x szám pozitív, akkor |x|=x, minden esetben.

A 0 0 egység távolságra van önmagától, tehát |0|=0

A negatív számok esetén viszont pont a szám ellentettjét kapjuk. Ez azért van, mert minket csak az érdekel, hogy az adott szám milyen messze van a 0-tól, az nem, hogy a számegyenesen a 0-tól balra vagy jobbra. Ezt így tudjuk felírni: ha az x szám negatív, akkor |x|=-x, vagyis az ||-en belüli réz ellentettjét vesszük. Például |-5|=-(-5)=5, és valóban, a (-5) pont olyan messze van a 0-tól, mint az 5.

Az ||-es feladatoknál ezt használjuk ki, bár az ilyen alakú egyenletek/egyenlőtlenségek egyszerűbb módon is megközelíthetőek. Vegyünk egy egyszerűbb egyenletet;

|2x+10| = 6

Feltehetjük a kérdést; "Melyik az a szám, amelyiknek ||-e 6?" Erre kapásból rá tudjuk vágni, hogy a 6 és a (-6), tehát az eredeti egyenletből ezt tudjuk felírni:

2x+10 = 6, tehát x=-2

2x+10 = -6, tehát x=-8, ez a két megoldás.

Amíg 1 darab || van, addig ezzel a módszerrel könnyedén el lehet boldogulni:

|3x-5| <= 4

"Melyek azok a számok, amelyek a 0-tól legfeljebb 4 távolságra vannak?" Terészetesen a (-4) és a 4 közé eső számk, tehát ezt tudjuk felírni:

-4 <= 3x-5 <= 4, rendezés után

1/3 <= x <= 3, tehát ez lesz a megodáshalmaz.

A |5x-7| > 13 esetén "Melyek azok a számok, melyek a 0-tól 13-nál nagyobb távolságra vannak?" Erre azt tudjuk mondani, hogy a 13-nál nagyobb, és a (-13)-nál kisebb számok, tehát azt tudjuk felírni, hogy

vagy 5x-7 > 13, tehát x>4,

vagy 5x-7 < -13, tehát x<-1,2, tehát itt két diszjunkt megoldáshalmazt kaptunk.

Most nézzük a

|7x-9| < -2 egyenlőtlenséget. "Melyek azok a számok, amelyek a 0-tól legfeljebb (-2) távolságra vannak?" Azt tudjuk, hogy a távoság, mint olyan, mindig vagy 0 vagy pozitív, tehát ennek az egyenlőtlenségnek nincs megoldása. Ugyanez ha fordítva van:

|7x-9| > -2, akkor minden szám megoldása lesz, elvégre 0>-2 és pozitív>-2 mindig igaz.

Ugyanez működik a te egyenlőtlenségednél is, de egy kis csavar van benne;

|x+1| < 3x-1

"Melyek azok a számok, amelyek legfeljebb (x+1) távolságra vannak a 0-tól?" Természetesen a szám legfeljebb 3x-1 és legalább ennek ellentettje, vagyis -(3x-1). Ebben a meggondolásban viszont feltételeztük, hogy a 3x-1 értéke pozitív vagy 0, mert ugyanez a kérdés például így nem működne: "Természetesen a szám legfeljebb -5 és legalább ennek ellentettje, vagyis -(-5)=5.". Ahhoz, hogy "klasszikusan" tudjuk értelmezni az egyenlőtleséget, a jobb oldalnak mindenképp nemnegatívnak kell lennie, vagyis kvázi egy kikötést kell írnunk; 3x-1 >=0, vagyis x>=1/3, tehát x helyére legalább 1/3-ot kell írnunk, hogy az egyenlőtlenséggel tudjunk foglalkozni. Ha ez megvan, akkor folytathatjuk ugyanúgy, ahogy eddig tettük:

-(3x-1) < x+1 < 3x-1

Ezt a legegyszerűbb úgy megoldani, hogy külön-külön kiszámoljuk a két egyenlőtlenséget:

-(3x-1) < x+1, ennek megoldása 0<x

x+1 < 3x-1, ennek megoldása 1<x

A két egyenlőtlenség 1<x esetén teljesül. Ezt még össze kell vetnünk a kikötésünkkkel, ami az 1/3=<x volt, ezek szintén 1<x teljesülnek egyszerre, tehát ez lesz az eredeti egyenlőtlenség megoldáshalmaza.

Az 1)-es válasza amolyan "expert" megoldási mód, tehát akkor tudjuk hatékonyan használni, hogyha értjük az alapokat. Azt a fajta megoldást jellemzően az olyan egyenleteknél/egyenlőtlenségeknél használjuk, ahol ||-ek vannak összeadva vagy kivonva, például:

|x| + |2x-3| >= 5

Itt már az előbb felvázolt megoldási mód döcögősen lenne használható, ezért az 1)-es válasz szerint számolunk, esetszétválasztással. Az ilyen alakú egyenleteket/egyenlőtlenségeket valószínűleg középiskolában fogod tanulni.